Нашей целью является построение для любой машины Тьюринга такого модельного решетчатого гамильтониана, что шредингерова эволюция выделенных состояний будет моделировать первые $J$ шагов вычисления на этой машине. Для этого выберем подходящий промежуток времени $\Delta$ и гамильтониан $H$
\[
H=\left\{\begin{array}{lll}
H_{1}, & \text { если } 3 m \Delta \leqslant t<(3 m+1) \Delta, \\
H_{2}, & \text { если }(3 m+1) \Delta \leqslant t<(3 m+2) \Delta, \\
H_{3}, & \text { если }(3 m+2) \Delta \leqslant t<(3 m+3) \Delta
\end{array}\right.
\]
для любого целого $m$. Гамильтонианы $H_{1}, H_{2}$ и $H_{3}$ должны быть выбраны так, чтобы выполнялись соотношения ( $\hbar=1$ )
\[
V_{j}=e^{-i \Delta H_{j}}
\]

для $j=1,2,3$.
Ясно, что определенный таким образом гамильтониан зависит от времени и требует внешнего вмешательства для переключения соответствующих взаимодействий. Однако он приводит к требуемому закону эволюции. Чтобы убедиться в этом, будем считать, что $t=(3 m+h) \Delta$, где $h=0,1$ или 2 . Тогда, если вся решетка находится в начальный момент в состоянии $\Psi$, вектор $\Psi(t)$ определится формулой
\[
\Psi(t)=e^{-i H t} \Psi=e^{-i H_{h+1} \Delta} \ldots e^{-i H_{1} \Delta}\left(e^{-i H_{3} \Delta} e^{-i H_{2} \Delta} e^{-i H_{1} \Delta}\right)^{m} \Psi .
\]

Из предыдущего ясно, что при $t=(3 m+h) \Delta$, где $m \leqslant J$, оператор $\exp (-i H t)$, примененный к вектору $\Psi_{1 \gamma 00 b}$, порождает состояние модели, соответствующее состоянию машины Тьюринга и системы записи после $3 m+h$ шагов вычисления. Если $m>J$, то состояние $\Psi(t)$ попрежнему определяется формулой (29), но модель более не описывает эволюцию «запись-вычисление-сдвиг» машины Тьюринга. Гамильтониан, описывающий запись, можно взять в форме
\[
H_{1}=\sum_{l=1}^{N_{J}} \sum_{s \in S} \sum_{j=-J}^{J} \sum_{k=0}^{J} P_{l}^{\mathscr{L}} \otimes P_{s j}^{\mathscr{T}} \otimes P_{j}^{\mathbf{h}} \otimes P_{k}^{\mathbf{j}} \otimes H_{(l s j) b}^{\mathscr{R} k},
\]

где $H_{(l s j) b}^{\mathscr{R} k}$ определяется равенством (16), в котором конфигурации $f$ и $g$ определяются числами ( $l s j$ ) и $b$ из клетки $k$ системы записи. Оператор $\mathrm{H}_{2}$ равен
\[
H_{2}=\sum_{l=1}^{N_{J}} \sum_{s \in S} \sum_{j=-J}^{J} \sum_{k=0}^{J} H_{(l s),\left(l^{\prime} s^{\prime} \alpha\right)}^{\mathscr{L} \mathscr{h} j} \otimes P_{k}^{\mathbf{j}} \otimes P_{(l s j) k}^{\mathscr{R}} .
\]

Из равенства (16) следует, что
\[
H_{(l s),\left(l^{\prime} s^{\prime} \alpha\right)}^{\mathscr{L} \mathscr{h} j}=\frac{\pi \hbar}{2 \Delta} \sigma_{l l^{\prime}}^{\mathscr{L}} \otimes \sigma_{s s^{\prime}}^{\mathscr{T} j} \otimes \sigma_{\alpha}^{\mathbf{h} j},
\]
где конфигурации $f$ и $g$ определяются числами $l$ и $l^{\prime}$ в системе $\mathscr{L}, s$ и $s^{\prime}$ в $j$-й клетке $\mathscr{T}$ и положением $\mathbf{h}$ в $j$ и $j+\alpha$.

Для каждых значений $l$ и $s$ величины $l^{\prime}, s^{\prime}$ и $\alpha$ определяются функцией $\tau_{Q}$ (см. равенство (1)). Если $\tau_{Q}(l s)=(l s 0)$, то $H_{(l s),\left(l^{\prime} s^{\prime} \alpha\right)}^{l \mathscr{T h} j}=\pi \hbar / 2 \Delta$. В этом случае конфигурации $\mathscr{L}, \mathscr{T}$ и $\mathbf{h}$ не изменяются.
Оператор $H_{3}$ можно представить в форме
\[
H_{3}=\sum_{k=0}^{J} H_{+1}^{\mathrm{j} k} \otimes P_{k}^{\mathscr{R}},
\]

где $H_{+1}^{\mathrm{j} k}$ определяется равенством (16) с конфигурациями $f$ и $g$, относящимися к положениям $k$ и $k+1(\bmod J+1)$ головки $\mathbf{j}$.

Легко проверить, что подстановка только что определенных операторов $H_{1}, H_{2}$ и $H_{3}$ в уравнения (28) приводит к равенствам $(20),(22)$ и (25). Это является следствием попарной ортогональности слагаемых в суммах по $l, s, j$ и $k$.

Если значение $t=(3 m+h) \Delta+\delta$ не кратно $\Delta$, то $\exp (-i H t)$ можно представить как $\exp \left(-i H_{h+1} \delta\right) \exp (-i H(3 m+h) \Delta)$, где $h=0,1$ или 2. Действие $\exp (-i H(3 m+h) \Delta)$ определяется равенством (29), а $\exp \left[-i H_{1} \delta\right]$ задается равенством (20) в котором $U_{(l s j) b}^{\mathscr{R k} k}$ заменяется на $\exp \left(-i H_{(l s j) b}^{\mathscr{R} k} \delta\right)$. Это выражение, в свою очередь, определяется равенствами (17) и (18), где $f$ и $g$ задаются конфигурациями ( $l s j$ ) и $b$ в клетке $k$ из $\mathscr{R}$.

При $h=1$ оператор $\exp \left(-i H_{2} \delta\right)$ определяется равенством (22), в котором $U_{(l s),\left(l^{\prime} s^{\prime} \alpha\right)}^{\mathscr{L} \mathscr{h} j} \quad$ заменены на
\[
\exp \left[-i H_{(l s),\left(l^{\prime} s^{\prime} \alpha\right)}^{\mathscr{L} \mathscr{h} j} \delta\right]=\cos \left(\frac{\pi \delta}{2 \Delta}\right)-i\left(\sigma_{l l^{\prime}}^{\mathscr{L}} \otimes \sigma_{s s^{\prime}}^{\mathscr{T} j} \otimes \sigma_{\alpha}^{\mathbf{h} j}\right) \sin \left(\frac{\pi \delta}{2 \Delta}\right)
\]
(см. равенство (18)). При $h=3$ оператор $\exp \left(-i H_{3} \delta\right.$ ) получается из равенства (25), в котором $U_{+1}^{\mathrm{j} k}$ заменены на $\exp \left(-i H_{+1}^{\mathrm{j} k} \delta\right)$. В силу равенства (18) снова получается приведенное выше выражение.

Определенный выше гамильтониан довольно прост, что позволяет непосредственно проследить за его работой. Однако недостатком этого оператора является его явная зависимость от времени. Это требует некоторого внешнего вмешательства для применения полного гамильтониана, как это определяется равенством (27).

Желательно построить модель процесса, в которой гамильтониан не зависел бы от времени. Преимуществом такой модели была бы ее полная независимость, не требующая внешнего вмешательства.