В этом разделе будет построена такая модель вычисления, в которой каждый шаг процесса будет разделен на три: запись, вычисление, сдвиг. В этом случае можно распорядиться вычислениями так, что системы, состояния которых определяют, какие следует применить операторы перехода, не будут совпадать с теми системами, в которых содержатся конфигурации, подлежащие изменению. Грубо говоря, требуется, чтобы на каждом шаге вычисления проверяющие системы были бы отделены от систем, чьи состояния изменяются.

Причина этого требования кроется в том, что его результатом будет относительно простое гамильтоново описание каждого шага процесса. Это будет следствием того, что проекционные операторы, которые играют роль проверяющих операторов, коммутируют с операторами, изменяющими конфигурации системы. Этого не будет, если отнести проекционные операторы к той же самой системе, где действуют операторы изменений, что приведет к более сложному гамильтониану. Задача шага записи, выполняемой перед вычислением, состоит в том, чтобы записать в пустую клетку записей (их будет сканировать головка j) состояние внутренней машины $\mathscr{L}$, содержимое клетки, которую сканирует головка $\mathbf{h}$ и положение $\mathbf{h}$. Шаг вычисления состоит в осуществлении в системе $\mathscr{L}+\mathscr{T}+\mathbf{h}$ операции, определяемой функцией $\tau_{Q}$ (уравнение (1)). Аргументами этой функции являются значения $l$ и $s$, взятые из клетки, которую читает головка $\mathbf{j}$. Записанное положение головки $\mathbf{h}$ используется для того, чтобы выбрать положение, в которое эта головка должна, если нужно, сместиться. Сдвиги третьего типа это сдвиги головки $\mathbf{j}$ к новой клетке записи.

Оператор $V_{1}$, осуществляющий операцию записи, задается выражением
\[
V_{1}=\sum_{l=1}^{N_{J}} \sum_{s \in S} \sum_{j=-J}^{J} \sum_{k=0}^{J} P_{l}^{\mathscr{L}} \otimes P_{s j}^{\mathscr{T}} \otimes P_{j}^{\mathbf{h}} \otimes P_{k}^{\mathbf{j}} \otimes U_{(l s j) b}^{\mathscr{R} k}+1-P_{1},
\]

где
\[
P_{1}=\sum_{l=1}^{N_{J}} \sum_{s \in S} \sum_{j=-J}^{J} \sum_{k=0}^{J} P_{l}^{\mathscr{L}} \otimes P_{s j}^{\mathscr{T}} \otimes P_{j}^{\mathbf{h}} \otimes P_{k}^{\mathbf{j}} \otimes \mathbf{1}^{\mathscr{R}} .
\]

Оператор $U_{(l s j) b}^{\mathscr{R} k}$ определяется равенством (19), в котором $f$ и $g$ определяются набором ( $l s j$ ) и $b$ из клетки $k$ в $\mathscr{R}$. Наличие слагаемого $1-P_{1}$ связано с тем обстоятельством, что в полной решетке существуют спиновые конфигурации, которые не принадлежат к описываемым равенством (9). Например, конфигурации с более чем одним (+)-спином в $\mathbf{h}$ или $\mathbf{j}$ подрешетках.

Ясно, что $V_{1}$ удовлетворяет поставленным условиям. Заметим, что $\mathscr{L}, \mathscr{T}, \mathbf{h}, \mathbf{j}$ – это системы, которые проверяются, а $\mathscr{R}$ – система, состояния которой изменяются. $V_{1}$ действует следующим образом: если клетка записи, содержимое которой изучила головка $\mathbf{j}$, пуста, то $V_{1}$ записывает в клетку состояние внутренней машины $\mathscr{L}$, символ на ленте $\mathscr{T}$, прочитанный головкой $\mathbf{h}$, и положение $\mathbf{h}$. В противном случае, т. е.
если клетка записи, сканируемая $\mathbf{j}$, уже содержит правильную запись об изучаемом состоянии, то $V_{1}$ очищает клетку записи. Если запись в клетке, которую прочла головка $\mathbf{j}$, не соответствует состоянию $\mathscr{L}$, символу на $\mathscr{T}$, прочитанному $\mathbf{h}$, и положению $\mathbf{h}$, то $V_{1}$ совершает некоторые преобразования содержимого клетки записи, прочитанной $\mathbf{j}$. Однако явный вид этих преобразований сейчас для нас безразличен.

Математически изложенное выше выражается следующим образом:
\[
V_{1} \Psi_{l \gamma j k \phi}=-i \Psi_{l \gamma j k \phi^{\prime}},
\]

где
\[
\phi^{\prime}(k)=(l, \gamma(j), j), \quad \text { если } \quad \phi(k)=b
\]

и
\[
\phi^{\prime}(k)=b, \quad \text { если } \quad \phi(k)=(l, \gamma(j), j) .
\]

Заметим, что $\phi(h)=\phi^{\prime}(h)$ для всех $h
eq k$. $V_{1}$ также изменяет $\phi(k)$, если $\phi(k)$ имеет другие значения. Однако здесь это обсуждаться не будет.
Оператор, производящий вычисления, имеет вид
\[
V_{2}=\sum_{l=1}^{N_{J}} \sum_{s \in S} \sum_{j=-J}^{J} \sum_{k=0}^{J} U_{(l s),\left(l^{\prime} s^{\prime} \alpha\right)}^{\mathscr{L} h} \otimes P_{k}^{\mathbf{j}} \otimes P_{(l s j) k}^{\mathscr{R}}+1-P_{2},
\]

где
\[
P_{2}=\sum_{l=1}^{N_{J}} \sum_{s \in S} \sum_{j=-J}^{J} \sum_{k=0}^{J} 1^{\mathscr{L} \mathscr{h}} \otimes P_{k}^{\mathbf{j}} \otimes P_{(l s j) k}^{\mathscr{R}}
\]

и слагаемое $1-P_{2}$ выполняет ту же роль, что и $1-P_{1}$ в равенстве (20), индексы $l^{\prime}, s^{\prime}, \alpha$ определяются по формуле (1): $\tau_{Q}(l s)=\left(l^{\prime} s^{\prime} \alpha\right)$.
В силу равенства (19)
\[
U_{(l s),\left(l^{\prime} s^{\prime} \alpha\right)}^{\mathscr{L} \mathscr{h} j}=-i \sigma_{l l^{\prime}}^{\mathscr{L}} \otimes \sigma_{s s^{\prime}}^{\mathscr{T} j} \otimes \sigma_{\alpha}^{\mathbf{h} j} .
\]

Для оператора $\sigma_{l l^{\prime}}^{\mathscr{L}}$ соответствующие конфигурации $f$ и $g$ определяются числами $l$ и $l^{\prime}$ в $R_{\mathscr{L}}$ (см. рис. 1). Для $\sigma_{s s^{\prime}}^{\mathscr{T} j}$ векторы $f$ и $g$ выделяются символами $s$ и $s^{\prime}$ из области $R_{\mathscr{T} j}$ – множества клеток $j$ на ленте $\mathscr{T}$,
наконец, для $\sigma_{\alpha}^{\mathbf{h} j}$ векторы $f$ и $g$ опознаются по числам $j$ и $j+\alpha$ в области $R_{\mathrm{h}}$. (Заметим, что значения $J+1$ и $-(J+1)$ заменяются на $-J$ и $J$, соответственно.) Если $\alpha=0$, то $\sigma_{\alpha}^{\mathbf{h} j}$ – тождественный оператор.

Оператор $V_{2}$ также удовлетворяет условию, сформулированному в начале раздела, поскольку $\mathscr{R}$ и $\mathbf{j}$ теперь – проверяющие системы, а $\mathscr{L}, \mathscr{T}$ и $\mathbf{h}$ – системы, чьи конфигурации изменяются. $V_{2}$ действует так: если клетка $\mathscr{R}$, которую сканирует головка $\mathbf{j}$, содержит некоторую запись $(l s j$ ), которая правильно представляет состояние внутренней машины $\mathscr{L}$, содержимое клетки в $\mathscr{T}$, сканируемой головкой $\mathbf{h}$, и положение головки $\mathbf{h}$, то $V_{2}$ воспроизводит вычисление в $\mathscr{L}, \mathscr{T}$ и $\mathbf{h}$, в результате которого $l, s$ и $j$ заменяются на $l^{\prime}, s^{\prime}$ и $j+\alpha$, где $\tau_{Q}(l, s)=\left(l^{\prime}, s^{\prime}, \alpha\right)$. Если клетка в $\mathscr{R}$, сканируемая головкой $\mathbf{j}$, содержит $(l s j)$, а $l^{\prime}$ – состояние внутренней машины $\mathscr{L}, s^{\prime}$ – содержимое клетки, сканируемой головкой $\mathbf{h}$, и $j^{\prime}$ – положение головки $\mathbf{h}$, связаны соотношением $\tau_{Q}(l s)=\left(l^{\prime} s^{\prime} \alpha\right)$ с $j^{\prime}=j+\alpha$, то $V_{2}$ аннулирует вычисление, переводя $l^{\prime}$ в $l, s^{\prime}$ в $s$ и $j^{\prime}$ в $j$. Если содержание клетки записи, сканируемой головкой $\mathbf{j}$, состояние внутренней машины $\mathscr{L}$, символ в клетке, сканируемой $\mathbf{h}$, и положение $\mathbf{h}$ связаны не так, как описано выше, то $V_{2}$ также изменяет состояния $\mathscr{L}, \mathscr{T}$ и h. Однако здесь эти изменения не рассматриваются.
Математически это выражается формулой
\[
V_{2} \Psi_{l_{1} \gamma_{1} j_{1} k \phi}=-i \Psi_{l^{\prime} \gamma^{\prime} j^{\prime} k \phi} .
\]

Действие оператора $V_{2}$ можно описать следующим образом. Если для некоторого набора $(l, s, j)$ справедлива формула $\phi(k)=(l s j)$ и $l_{1}=l$, $\gamma_{1}(j)=s$ и $j_{1}=j$, то происходит переход к $\left(l^{\prime}, \gamma^{\prime}(j), \alpha\right)$ с $j^{\prime}=j+\alpha$ и $\gamma^{\prime}(h)=\gamma_{1}(h)$ для всех $h
eq j_{1}$. Если $\phi(k)=(l s j)$ и $\tau_{Q}(l s)=\left(l_{1} s_{1} \alpha\right)$, где $j_{1}=j+\alpha$ и $\gamma_{1}\left(j_{1}\right)=s_{1}$, то происходит обратный шаг $l^{\prime}=l$, $\gamma^{\prime}\left(j_{1}\right)=s, j^{\prime}=j$ и $\gamma^{\prime}(k)=\gamma_{1}(k)$ для всех $k
eq j_{1}$. Естественно, что $V_{2}$ вызывает и другие изменения.
Оператор сдвига определяется формулой
\[
V_{3}=\sum_{k=0}^{J} 1^{\mathscr{L} \mathscr{T} \mathbf{h}} \otimes U_{+1}^{\mathrm{j} k} \otimes P_{k}^{\mathscr{R}}+1-P_{3},
\]

где
\[
P_{3}=\sum_{k=0}^{J} 1^{\mathscr{L} \mathscr{T} \mathbf{j}} \otimes P_{k}^{\mathscr{R}} .
\]

Оператор $P_{k}^{\mathscr{R}}$ проецирует на такие состояния решетки записи, у которых $k$-я клетка $\mathscr{R}$ – это последняя (в направлении возрастания $k$ ) непустая клетка. Его можно определить формулой $P_{k}^{\mathscr{R}}=\sum_{\phi}{ }^{k} P_{\phi}^{\mathscr{R}}$, где индекс $k$ у знака суммы по $\phi$ означает что суммирование ограничено такими $\phi$, что $\phi(k)
eq b$ и $\phi(j)=b$ для всех $j$, удовлетворяющих неравенствам $k<j \leqslant J$.
Справедливо
\[
V_{3} \Psi_{l \gamma j k \phi}=-i \Psi_{l \gamma j k^{\prime} \phi},
\]

где $k^{\prime}=k+1$, если $k$ – последняя заполненная клетка в $\phi$, и $k^{\prime}=k-1$, если $k-1$ – последняя заполненная клетка в $\phi$. (Заметим, что $k+1=0$, если $k=J$, и $k-1=J$, если $k=0$.)

Можно показать, что унитарные операторы $V_{1}, V_{2}, V_{3}$, применяемые один за другим к подходящему начальному состоянию $\Psi_{1 \gamma 00 \underline{b}}$, порождают желаемые шаги процесса. Здесь 1 обозначает (стандартное) начальное состояние внутренней машины $\mathscr{L}, \mathbf{a} \underline{b}$ означает, что все клетки в $\mathscr{R}$ пустые. В частности, если $m \leqslant J$, то $\left(V_{3} V_{2} V_{1}\right)^{m} \Psi_{1 \gamma 00 b}$ – состояние, соответствующее выполнению $m$ вычислительных шагов. Детали состояния модели при $m>J$ описаны в разделе 6.1.