(i) Вещественная плоскость в $H_{n}$, натянутая на однородную суперпозицию $\xi$ всех классических состояний (15) и на $\left|x_{0}\right\rangle$, инвариантна относительно $T:=V J V I_{F}$.
(ii) Ограничение $T$ на эту плоскость – вращение (из $\xi$ в $\left.\left|x_{0}\right\rangle\right)$ на угол $\varphi_{N}$, где
\[
\cos \varphi_{N}=1-\frac{2}{N}, \quad \sin \varphi_{N}=2 \frac{\sqrt{N-1}}{N} .
\]

Проверка этого проводится непосредственно.
Пусть теперь $\varphi_{N}$ близко к $\frac{2}{\sqrt{N}}$, и для начального угла $\varphi$ между $\xi$ и $\left|x_{0}\right\rangle$ мы имеем
\[
\cos \varphi=-\frac{1}{\sqrt{N}} .
\]

Следовательно, в случае $\left[\varphi / \varphi_{N}\right] \approx \frac{\pi \sqrt{N}}{4}$ применений $T$ к $\xi$ мы получим состояние, очень близкое к $\left|x_{0}\right\rangle$. Останавливая повторение $T$ после такого числа шагов и измеряя выход в базисе классических состояний, мы получим $\left|x_{0}\right\rangle$ с вероятностью, очень близкой к единице.

Одно применение $T$ заменяет в квантовом поиске одно вычисление значения $F$. Таким образом, благодаря квантовому параллелизму, мы достигаем полиномиального ускорения в сравнении с классическим поиском. В случае, когда $F$ принимает значение 1 в нескольких точках, а мы хотим найти только одну из них, можно действовать с помощью расширения этого метода. Если число таких точек – $n$, то алгоритм требует около $\sqrt{N / n}$ шагов, а значение $n$ можно заранее и не знать (см. $[\mathrm{BoyBH}]$ ).