Пусть $f$ и $g$ — две конфигурации, определенные в одной и той же области $R$ из нашей решетки. Определим оператор ${\sigma }_{fg}$ формулой
$${\sigma }_{fg}=\underset{(i,j)\in D_{fg}}{⨂}{\sigma }_1(i,j).$$

Здесь $D_{fg}=\{(i,j)\mid f(i,j)eqg(i,j)\}$ — множество всех узлов решетки, в которых $f$ отличается от $g$, а ${\sigma }_1(i,j)$ — оператор переворота спина в узле $(i,j)$. Оператор ${\sigma }_1$ — это матрица Паули, которая меняет друг с другом векторы ${\psi }_{+}$и ${\psi }_{-}$. Оператор ${\sigma }_{fg}$ меняет друг с другом векторы ${\mathrm{\Psi }}_f$ и ${\mathrm{\Psi }}_g$, т.е. ${\sigma }_{fg}{\mathrm{\Psi }}_f={\mathrm{\Psi }}_g$ и ${\sigma }_{fg}{\mathrm{\Psi }}_g={\mathrm{\Psi }}_f$. Последнее свойство определяется соотношением ${\sigma }_1{}^2=1$, из которого следует, что ${\sigma }_{fg}{}^2=1$. Заметим, что ${\sigma }_{fg}{\mathrm{\Psi }}_{h}eq{\mathrm{\Psi }}_h$ для всех конфигураций, область определения которых имеет непустое пересечение с $D_{fg}$. Если $f=g$, то $D_{fg}$ пустое множество и ${\sigma }_{fg}=1$.

Удобно обобщить приведенную выше конструкцию и рассмотреть унитарный оператор
$$U_{fg}=e^{i\beta (f,g)}{\sigma }_{fg},$$

где $\exp (i\beta (f,g))$ — фазовый множитель, зависящий от $f$ и $g.U_{fg}$ унитарный оператор, он будет самосопряженным в том и только в том случае, если $\beta (f,g)=0(mod2\pi )$. Как хорошо известно, точное выражение $\beta (f,g)$ зависит от вида взаимодействия, которое используется для реализации оператора перестановки. Здесь гамильтониан взаимодействия выбран в форме
$$H_{fg}=\frac{\pi \hslash }{2\mathrm{\Delta }}{\sigma }_{fg},$$

где $\mathrm{\Delta }$ — произвольный промежуток времени. Тогда оператор $U_{fg}(t)$, определенный формулой
$$U_{fg}(t)=e^{-it{H}_{fg}/\hslash },$$

равен
$$U_{fg}(t)=\cos \left(\frac{\pi t}{2\mathrm{\Delta }}\right)-i{\sigma }_{fg}\sin \left(\frac{\pi t}{2\mathrm{\Delta }}\right).$$

В этом случае
$$U_{fg}(\mathrm{\Delta })=U_{fg}=-i{\sigma }_{fg}$$

с $\beta (f,g)=3\pi /2$ независимо от $f$ и $g$. Можно выбрать и другие операторы $H_{fg}$, но здесь эти возможности обсуждаться не будут.