Пусть $f$ и $g$ – две конфигурации, определенные в одной и той же области $R$ из нашей решетки. Определим оператор $\sigma_{f g}$ формулой
\[
\sigma_{f g}=\bigotimes_{(i, j) \in D_{f g}} \sigma_{1}(i, j) .
\]

Здесь $D_{f g}=\{(i, j) \mid f(i, j)
eq g(i, j)\}$ – множество всех узлов решетки, в которых $f$ отличается от $g$, а $\sigma_{1}(i, j)$ – оператор переворота спина в узле $(i, j)$. Оператор $\sigma_{1}$ – это матрица Паули, которая меняет друг с другом векторы $\psi_{+}$и $\psi_{-}$. Оператор $\sigma_{f g}$ меняет друг с другом векторы $\Psi_{f}$ и $\Psi_{g}$, т.е. $\sigma_{f g} \Psi_{f}=\Psi_{g}$ и $\sigma_{f g} \Psi_{g}=\Psi_{f}$. Последнее свойство определяется соотношением $\sigma_{1}{ }^{2}=1$, из которого следует, что $\sigma_{f g}{ }^{2}=1$. Заметим, что $\sigma_{f g} \Psi_{h}
eq \Psi_{h}$ для всех конфигураций, область определения которых имеет непустое пересечение с $D_{f g}$. Если $f=g$, то $D_{f g}$ пустое множество и $\sigma_{f g}=1$.

Удобно обобщить приведенную выше конструкцию и рассмотреть унитарный оператор
\[
U_{f g}=e^{i \beta(f, g)} \sigma_{f g},
\]

где $\exp (i \beta(f, g))$ – фазовый множитель, зависящий от $f$ и $g . U_{f g}$ унитарный оператор, он будет самосопряженным в том и только в том случае, если $\beta(f, g)=0(\bmod 2 \pi)$. Как хорошо известно, точное выражение $\beta(f, g)$ зависит от вида взаимодействия, которое используется для реализации оператора перестановки. Здесь гамильтониан взаимодействия выбран в форме
\[
H_{f g}=\frac{\pi \hbar}{2 \Delta} \sigma_{f g},
\]

где $\Delta$ – произвольный промежуток времени. Тогда оператор $U_{f g}(t)$, определенный формулой
\[
U_{f g}(t)=e^{-i t H_{f g} / \hbar},
\]

равен
\[
U_{f g}(t)=\cos \left(\frac{\pi t}{2 \Delta}\right)-i \sigma_{f g} \sin \left(\frac{\pi t}{2 \Delta}\right) .
\]

В этом случае
\[
U_{f g}(\Delta)=U_{f g}=-i \sigma_{f g}
\]

с $\beta(f, g)=3 \pi / 2$ независимо от $f$ и $g$. Можно выбрать и другие операторы $H_{f g}$, но здесь эти возможности обсуждаться не будут.