Следующий вопрос, который бы мне хотелось рассмотреть, конечно, интересен: можно ли смоделировать вероятностным образом квантовую систему на классическом (вероятностном, я имею в виду) универсальном компьютере? Другими словами, компьютер, который даст те же вероятности, что и квантовая система. Если вы берете компьютер классического типа, который я описывал раньше (а не квантовый, который я описывал в последнем разделе) и нет никаких изменений в законах и никаких фокусов, то ответ определенно «Нет!» Это называется проблемой скрытых переменных: невозможно представить результаты квантовой механики на классическом универсальном устройстве. Чтобы остановиться на этом немного подробнее, давайте попытаемся представить квантовые уравнения в форме, как можно более близкой к классическим уравнениям, так что мы сможем увидеть, в чем трудность и что происходит. Прежде всего, мы не можем моделировать $\psi$ нормальным способом. Как я объяснял ранее, у нас слишком много переменных. Наша единственная надежда в том, что мы собираемся моделировать вероятности, что мы собираемся заставить наш компьютер делать вещи с той же вероятностью, что наблюдается в природе, как вычисляется с помощью квантовомеханической системы. Можете ли вы заставить клеточный автомат или что-то, имитировать ту же вероятность, что и в природе, где я собираюсь предположить, что квантовая механика корректна или, по крайней мере, корректна после того, как пространство и время делаются дискретными, и давайте посмотрим, смогу ли я это сделать. Я должен отметить, что вы должны прямо сгенерировать вероятности и результаты с корректной квантовой вероятностью. Непосредственно, поскольку у нас нет способа хранить все числа, мы можем только имитировать явления непосредственно.

Затем оказывается, для этого более полезна, чем волновая функция, другая вещь, называемая матрицей плотности. Она не так полезна, когда дело касается математических уравнений, поскольку они более сложные, чем уравнения для $\psi$, но я не собираюсь заботится о математической сложности или по поводу того, какой путь вычисления самый легкий, поскольку с компьютером нам не надо заботиться о том, чтобы вычислять простейшим путем. И с небольшим возрастанием сложности уравнений (не таким уж и большим) я буду работать с матрицей плотности, которая для отдельной частицы с координатой $x$ в чистом состоянии с волновой функцией $\psi$ есть:
\[
\rho\left(x, x^{\prime}\right)=\psi^{*}(x) \psi\left(x^{\prime}\right) .
\]

У нее есть особенное свойство, она является функцией двух координат $x, x^{\prime}$. Присутствие двух величин $x$ и $x^{\prime}$, связанных с каждой координатой, аналогично тому факту, что в классической механике вам нужно иметь две переменные, чтобы описать состояние, $x$ и $\dot{x}$. Состояние описывается устройством второго порядка, с двумя типами информации («координата» и «скорость»). Так что нам нужно два бита информации, связанной с частицей, по аналогии с классической ситуацией, чтобы описать конфигурацию. (Мы записали матрицу плотности для одной частицы, но, конечно, существует аналогичная запись для $R$ частиц, функция $2 R$ переменных.)

Эта величина обладает многими математическими свойствами вероятности. Например, если состояние $\psi(x)$ не чистое, а представляет из себя $\psi_{\alpha}$ с вероятностью $p_{\alpha}$, то матрица плотности есть подходящая взвешенная сумма матриц для каждого состояния $\alpha$ :
\[
\rho\left(x, x^{\prime}\right)=\sum_{\alpha} p_{\alpha} \psi_{\alpha}^{*}(x) \psi_{\alpha}\left(x^{\prime}\right)
\]

Величина, которая имеет свойства даже более близкие к классической вероятности, есть функция Вигнера, простое переформулирование матрицы плотности для одной частицы
\[
W(x, p)=\int \rho\left(x+\frac{y}{2}, x-\frac{y}{2}\right) e^{i p y} d y .
\]

Мы будем уделять особое внимание ее близости к вероятности и назовем ее «вероятностью» кавычках вместо функции Вигнера. Смотрите за этими кавычками внимательно, когда их нет, мы имеем в виду настоящую вероятность. Если «вероятность» имеет все математические свойства вероятности, мы можем убрать кавычки и моделировать ее. $W(x, p)$ есть «вероятность» того, что частица имеет координату $x$ и импульс $p$ (на интервалах $d x$ и $d p$ ). Какими она обладает свойствами, аналогичными обычной вероятности?

У нее есть свойство, что если есть много переменных и вы хотите знать «вероятность» для конечной области, вы просто не рассматриваете другие переменные (путем интегрирования). Более того, вероятность найти частицу в $x$ есть $\int W(x, p) d p$. Если вы можете интерпретировать $W$ как вероятность для нахождения $x$ и $p$, это будет требуемым уравнением. Также можно ожидать, что вероятность $p$ будет $\int W(x, p) d x$. Эти два уравнения верны, и, следовательно, можно надеяться, что, может быть, $W(x, p)$ есть вероятность найти $x$ и $p$.
Тогда возникает вопрос, можем ли мы сделать устройство, моделирующее $W(x, p)$ ? Тогда все будет просто прекрасно.

Поскольку квантовые системы, о которых я упоминал, лучше всего могут быть представлены спином одна вторая (занятое против незанятого или спин одна вторая это одно и то же), я попытаюсь сделать то же самое для объектов со спином одна вторая, и это довольно легко. Хотя раньше один объект имел только два состояния, занятое и незанятое, для полного описания – для того чтобы работать с функциями от времени – требуется в два раза больше переменных, которые имеют смысл двух позиций в каждой точке, которые заняты или не заняты (обозначенные + и – ), аналогичные $x$ и $x_{t}$ или $x$ и $p$. То есть вы можете найти четыре числа, четыре «вероятности» $\left\{f_{++}, f_{+-}, f_{-+}, f_{–}\right\}$, которые действуют почти таким образом, и я должен объяснить, почему не точно таким же образом, но они действуют как частицы в состоянии, в котором оба символа вверх, один вверх, а один вниз и т. д. Например, сумма $f_{++}+f_{+-}+f_{-+}+f_{–}$четырех «вероятностей» равна 1 . Помните, что объект теперь имеет два индекса, два плюс/минус индекса или две единицы/нуля в каждой точке, хотя квантовые системы имеют только один. Например, если вы хотите знать, является ли первый индекс положительным, вероятность этого будет
\[
\operatorname{Prob}(\text { первый индекс }+)=f_{++}+f_{+-}[\text {спин } z \text { направлен вверх }] \text {, }
\]

то есть вы не заботитесь о втором индексе. Вероятность того, что первый индекс отрицателен, есть
$\operatorname{Prob}($ первый индекс -$)=f_{-+}+f_{–}$[спин $z$ направлен вниз $]$.
Эти две формулы точно верны в квантовой механике. Вы видите, что я уклоняюсь от того, может ли «вероятность» $f$ на самом деле быть вероятностью без кавычек. Но когда я пишу вероятность без кавычек в левой части, я не уклоняюсь; это действительно квантовомеханическая вероятность. Здесь это интерпретируется очень хорошо. Подобным образом вероятность того, что второй индекс положителен, может быть найдена следующим образом:
\[
\operatorname{Prob}(\text { второй индекс }+)=f_{++}+f_{-+}[\text {спин } x \text { направлен вверх }]
\]
и подобным же образом
$\operatorname{Prob}($ второй индекс -$)=f_{+-}+f_{–}[$спин $x$ направлен вниз $]$.
Вы можете задать и другие вопросы о системе. Вам, может, захочется узнать, какова вероятность, что оба индекса положительны? Тогда вы встретитесь с трудностями. Но вы можете задать другой вопрос, который вас не затруднит, и на который можно получить корректный физический ответ. Вы можете спросить, например, какова вероятность того, что оба индекса одинаковы. Это будет
\[
\operatorname{Prob}(\text { одинаковые })=f_{++}+f_{–}[\text {спин } y \text { направлен вверх }] \text {. }
\]

Или вероятность, что нет совпадения индексов, что они разные:
\[
\left.\operatorname{Prob}(\text { разные })=f_{+-}+f_{-+} \text {[спин } y \text { направлен вниз }\right] \text {. }
\]

Все замечательно. Все вероятности корректны и имеют смысл и точное значение в спиновой модели, показанный в квадратных скобках выше. Есть и другие комбинации «вероятностей», другие линейные комбинации этих функций $f$, которые тоже дают физически осмысленные вероятности, но мне бы не хотелось сейчас на этом останавливаться. Есть другие линейные комбинации, о которых вы можете задать вопрос, но, по-видимому, задавать вопросы об отдельной $f$ нельзя.