Только что изученные гамильтонианы обладают существенно различной сложностью. В частности, строение не зависящих от времени гамильтонианов более сложно, чем гамильтонианов, зависящих от времени. Одна из причин этого заключается в том, что в не зависящей от времени модели три шага – запись, вычисление и сдвиг объединены в один, области решетки, которая подвержена изменениям на каждом шаге, в этом случае больше, чем в случае зависящей от времени модели.

Другая причина связана с тем, что построение не зависящего от времени гамильтониана требует знания деталей всех вычислений, которые выполняет машина Тьюринга. Это становится очевидным после изучения равенств $(39),(42)$ и (44) или (48). Например, чтобы построить гамильтониан по формуле (42), для каждого стандартного начального выражения $\gamma$ длины $\leqslant J$ на вычислительной ленте необходимо знать все мгновенные описания и порядок, в котором они появляются в течение первых $J$ шагов вычисления. Это необходимо знать для построения операторов $\sigma_{j k}^{\gamma}$ и $P_{k}^{\gamma}$, входящих в равенство (48). Это требование эквивалентно решению задачи об остановке в течение первых $J$ шагов произвольного вычисления.

Такое положение вещей крайне нежелательно, потому что любая такая модель становится бесполезной с практической точки зрения. Хочется иметь дело с такой моделью, которая приносила бы новую информацию в ходе вычислений, а не повторяла бы то, что в нее внесено при построении модели. В частности, гамильтониан должен быть достаточно «прост», чтобы его создание не требовало полного решения задач, для которых эта модель будет использоваться.

Модели с зависящим от времени гамильтонианом с этой точки зрения более удовлетворительны. Построение гамильтонианов записи и сдвига $H_{1}$ и $H_{3}$ (см. равенства (30) и (33)) не требуют знаний вычислений машиной Тьюринга. Чтобы построить вычисляющий гамильтониан $H_{2}$ (см. равенство (31)) для заданной машины Тьюринга, нужно всего лишь знать функцию $\tau_{Q}$ (см. равенство (1)), которая в равной степени применима ко всем пятеркам множества $Q$.

Такого рода сведения необходимы для построения любого цифрового компьютера и входной программы, поэтому модели должны быть практичными при вычислениях. Построение соответствующих гамильтонианов не требует знания всех вычислительных орбит модели.

В этой работе построены модели двух типов. В одной из них эволюция локальна во времени и гамильтониан прост, но он зависит от времени. В другой эволюция глобальна во времени, гамильтониан более сложен, но зато он не зависит от времени.

Можно ли обобщить эти результаты? В частности, все ли глобальные во времени гамильтоновы модели процесса вычисления должны быть достаточно сложными и требовать предварительного знания о всех вычислительных орбитах? Предполагается, что ответ должен быть положительным. В равной степени важный вопрос звучит так: должны ли быть глобальными во времени любые модели, основанные на не зависящих от времени гамильтонианах?

Для ответа на него заметим, что можно доказать теорему, утверждающую, что всякая гамильтонова модель, в которой унитарный оператор $V(\Delta)=\exp (-i \Delta H)$ переводит за время $\Delta$ состояния $\Psi_{n}^{\gamma}$,
соответствующие законченному $n$-му шагу вычислений, в состояния $\Psi_{n+1}^{\gamma}$, соответствующие законченному ( $n+1$ )-му шагу для любых $n=0,1, \ldots, N_{\gamma}-1$ и любых начальных выражений $\gamma$ (т. е. это – двусторонний сдвиг), как это предписано равенствами (38)-(43), должна быть глобальной во времени. Однако, из этой теоремы не следует, что все модели процесса вычисления с не зависящим от времени гамильтонианом должны быть глобальными во времени. Существуют модели, гамильтонианы которых не зависят от времени и которые локальны во времени [13]. Причина, по которой эти модели избегают ограничения теоремы, заключена в том, что их можно рассматривать как некоторый предел рассматриваемых здесь моделей. Хотя сформулированная теорема справедлива для каждой модели из последовательности, она неверна для предельной модели. Мы надеемся впоследствии вернуться к этому вопросу.