Представляет определенный интерес и поведение наших моделей в те моменты времени, которые не кратны $\Delta$. Рассмотрим некоторую систему, которая изменяется от состояния $n$ в момент времени $n \Delta$ до состояния $n+1$ в момент времени $(n+1) \Delta$. Вообще говоря, в моменты времени $n \Delta+\delta, 0 \leqslant \delta \leqslant \Delta$, ожидается обнаружить систему в состоянии $n$ с конечной, зависящей от времени вероятностью $P_{n}(\delta)$ и в состоянии $n+1$ с вероятностью $P_{n+1}(\delta)$. Более того, можно ожидать, что если $\delta$ возрастает с 0 до $\Delta$, то $P_{n}(\delta)$ убывает с 1 до 0 , а $P_{n+1}(\delta)$ возрастает с 0 до 1 , так что $P_{n}(\delta)+P_{n+1}(\delta)=1$ для всех $t$ из области $n \Delta \leqslant t \leqslant(n+1) \Delta$. В результате не следует ожидать, что мы найдем систему в состоянии, которое уже было пройдено несколько шагов назад или в том состоянии, которое должно появиться только через несколько шагов.

Чтобы придать этим рассуждениям точный смысл, обратимся к квантовой механике. Для определенности назовем систему локальной во времени, если для каждого $n$ во все моменты времени $t=n \Delta, 0 \leqslant \delta \leqslant 1$, вектор состояния системы $\Psi(t)$ есть линейная комбинация только двух векторов $\Psi_{n}$ и $\Psi_{n+1}$, т.е.
\[
\Psi(n \Delta+\delta)=\alpha_{n}(\delta) \Psi_{n}+\beta_{n}(\delta) \Psi_{n+1} .
\]

Здесь $\Psi_{n}$ и $\Psi_{n+1}$ – ортогональные состояния, в которых система находится в моменты времени $n \Delta$ и $(n+1) \Delta$. Коэффициенты $\alpha_{n}(\delta)$ и $\beta_{n}(\delta)$ – комплексные числа, удовлетворяющие условиям $\left|\alpha_{n}(\delta)\right|^{2}+$ $+\left|\beta_{n}(\delta)\right|^{2}=1$ и $\alpha_{n}(0)=\beta_{n}(\Delta)=1, \alpha_{n}(\Delta)=\beta_{n}(0)=0$. В частности, $\Psi(t)$ не содержит составляюших $\Psi_{m}$ при $m<n$ (эти индексы соответствуют уже пройденным состояниям) или при $m>n+1$ (эти состояния будут достигнуты в будущем).

Возможен случай, когда для некоторого числа $n$ система не будет локальной во времени. Это означает, что кроме состояний $\Psi_{n}$ и $\Psi_{n+1}$ в линейной суперпозиции появляются состояния $\Psi_{m}$ с $m
eq n, n+1$ с коэффициентами $\gamma_{m}(\delta)
eq 0$. Сколь много таких состояний нужно принять во внимание, зависит от величины модуля $\left|\gamma_{m}(\delta)\right|$.
Если система и соответствующий ей гамильтониан таковы, что для каждого $n$ и по крайней мере для некоторых значений времени $t=n \Delta+\delta, 0<\delta<\Delta$, состояние $\Psi(t)$ будет линейной суперпозицией всех возможных состояний $\Psi_{m}$ с ненулевыми коэффициентами $\gamma_{n m}(\delta)$, то систему называют глобальной во времени. Причина употребления такого термина состоит в том, что пока система эволюционирует из состояния $\Psi_{n}$ в момент $t_{n}$ к состоянию $\Psi_{n+1}$, полное состояние $\Psi(t)$ содержит составляющие, которые соответствуют всем состояниям, которые уже были достигнуты в прошлом и будут достигнуты в будущем.

Эти понятия можно применить к построенным здесь моделям. Из равенства (53) следует, что модели, построенные на основе не зависящего от времени гамильтониана, глобальны во времени. В частности, как можно понять из соображений непрерывности и дифференцируемости, коэффициенты $b_{m-n}(\delta)$ должны быть отличны от нуля для большинства (т.е. для всех, кроме, может быть, некоторых изолированных точек) значений $\delta$ между 0 и $\Delta$. Это означает, что когда состояние машины Тьюринга переходит от $\Psi_{n}^{\gamma}$ в момент $n \Delta$ к состоянию $\Psi_{n+1}^{\gamma}$ в момент $(n+1) \Delta$ полная система находится в суперпозиции как первых $J$ шагов вычисления, так и предстоящих $N_{\gamma}-J$ шагов. Выражаясь несколько вольно, можно сказать, что состояние системы $\Psi(t)$, начав в момент времени $n \Delta$ с некоторого состояния $\Psi_{n}^{\gamma}$, по мере возрастания $t$ расширяется до суперпозиции всех прошлых и будущих состояний на орбите, а затем, к моменту $t=(n+1) \Delta$, коллапсирует к состоянию $\Psi_{n+1}^{\gamma}$ (смысл термина «коллапс» здесь не совпадает со смыслом термина «коллапс волновой функции» в теории измерений).

Модели с зависящим от времени гамильтонианом отличаются от моделей с постоянным гамильтонианом тем, что они локальны во времени. Обратившись к разделу 4.2, можно понять, что для каждого $n$ и всех моментов времени $n \Delta+\delta, 0 \leqslant \delta \leqslant \Delta$, удовлетворено равенство (53) с $\alpha_{n}(\delta)==\cos (\pi \delta / 2 \Delta)$ и $\beta_{n}(\delta)=-i \sin (\pi \delta / 2 \Delta)$, причем $\alpha_{n}(\delta)$ и $\beta_{n}(\delta)$ не зависят от $n$. Функции $\Psi_{n}=\Psi(n \Delta)$ и $\Psi_{n+1}=\Psi((n+1) \Delta)$ определяются равенством (29), в котором $m$ и $h$ удовлетворяют $n=3 m+h$, $h=0,1$ или 2. Таким образом, для всех значений времени $n \Delta+\delta$, $0 \leqslant \delta \leqslant \Delta$ единственными состояниями, дающими вклад в состояние $\Psi^{\gamma}(n \Delta+\delta)$, являются $\Psi_{n}^{\gamma}$ и $\Psi_{n+1}^{\gamma}$, которые соответствуют только что законченной и непосредственно следующей за ней стадиям вычислительного процесса.

Локальность во времени рассмотренной здесь зависящей от времени модели приводит к другому важному следствию. Рассмотрим эволюцию сложной системы, распределенной в некоторой области пространства. Интуитивно можно предположить, что во время эволюции изменения происходят в системах из одной подобласти, а состояния систем в остальной части области остаются стационарными. Как скоро процесс изменения перемещается в другую подобласть и какие системы оказываются вовлеченными в него – зависит от деталей процесса.

Процесс вычисления на машине Тьюринга очень хорошо описывается в этих терминах. Например, вначале $k$-я клетка записи пуста и остается пустой при любых изменениях в других частях системы. Состояние этой клетки изменится только в том случае, когда в ней запишут соответствующую тройку. После этого оно снова пребудет неизменным, пока эта запись не сотрется. Аналогичные периоды изменений, сменяемые периодами стационарности, происходят и в других частях системы.

Уместно заметить, что состояния различных подсистем обладают этим свойством именно благодаря локальности во времени, которая обеспечивается изменением во времени гамильтониана системы. Например, состояние подсистемы, соответствующее пустоте $k$-й клетки записи, остается неизменным для всех $t$ от нуля до $3 k \Delta$. За время, текущее между $3 k \Delta$ и $(3 k+1) \Delta$, клетка записи меняет свое состояние $\Psi_{b}^{\mathscr{R}_{k}}$ на $\Psi_{l s j}^{\mathscr{R}_{k}}$ с некоторой тройкой $l s j$. Это состояние остается неизменным до момента времени $t=3 J \Delta$. Для промежутка времени $3 J \Delta<t<3 N_{\gamma} \Delta$ стационарность состояния зависит от деталей фазы обращения. Известно только, что в некоторый момент времени $q \Delta$ состояние $k$-й клетки возвращается к $\Psi_{b}^{\mathscr{R}_{k}}$ и в дальнейшем не изменяется.

В моделях с не зависящим от времени гамильтонианом дело обстоит иначе, потому что они глобальны во времени. В частности, из равенства (52) следует, что для каждого $n$ в промежутке времени от $n \Delta$ до $(n+1) \Delta$ изменяется состояние каждой подсистемы. Если конфигурация подсистемы одинакова перед $n$-м и $(n+1)$-м шагами, то состояние подсистемы одно и то же для времен $n \Delta$ и $(n+1) \Delta$. Однако оно будет изменяться при промежуточных временах ${ }^{1}$.

Масштаб изменений в состоянии любой подсистемы при возрастании $t$ от $n \Delta$ до $(n+1) \Delta$ зависит главным образом от значений коэффициентов $b_{m-n}(\delta)$ для всех значений $m$, при которых конфигурации подсистемы в состоянии $\Psi_{m}^{\gamma}$ отличаются от таковых в состоянии $\Psi_{n}^{\gamma}$.

Важным параметром здесь является временной промежуток или число шагов из $n$ до шага, при котором состояние конфигурации изменяется. Например, конфигурация $k$-й клетки записи изменится во время шага под номером $k+1$ от $b$ до подходящей тройки $l s j$. Следующее изменение происходит во время шага, осуществляемого после $J$-го, когда происходит процесс возвращения. На $q$-м шаге $k$-я клетка записи возвращается в состояние $b$ и остается в этом состоянии на каждом из оставшихся $N_{\gamma}-q$ шагов.

Состояние $k$-й клетки записи в момент $n \Delta+\delta$, определяемое оператором плотности $\rho^{\mathscr{R}_{k}}(n \Delta+\delta)$, соответствует вышеописанному. В частности,
\[
\begin{array}{l}
\rho^{\mathscr{R}_{k}}(n \Delta+\delta)=\left(\sum_{m=0}^{k}+\sum_{m=q}^{N_{\gamma}-1}\right)\left[\left|b_{m-n}(\delta)\right|^{2}\right] P_{b}^{\mathscr{R}_{k}}+ \\
+\sum_{m=k+1}^{J}\left|b_{m-n}(\delta)\right|^{2} P_{l s j}^{\mathscr{R}_{k}}+\sum_{m^{\prime}, m=J+1}^{q-1} b_{m^{\prime}-n}^{*}(\delta) b_{m-n}(\delta) \operatorname{Tr}^{\prime}\left(\left|\Psi_{m}^{\gamma}\right\rangle\left\langle\Psi_{m^{\prime}}^{\gamma}\right|\right) .
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Состояние любой модельной подсистемы $X$ в момент времени $n \Delta+\delta$ задается, вообще говоря, оператором плотности $\rho^{X}(n \Delta+\delta)$, причем в силу равенства (52)
\[
\rho^{X}(n \Delta+\delta)=\sum_{j} \sum_{m, m^{\prime}}^{j} b_{m-n}(\delta) b_{m^{\prime}-n}^{*}(\delta) \operatorname{Tr}_{-X}\left(\left|\Psi_{m}^{\gamma}\right\rangle\left\langle\Psi_{m^{\prime}}^{\gamma}\right|\right) .
\]

Индекс $-X$ означает, что след берется по всем спиновым системам, не принадлежащим $X$. Сумма по $j$ распространяется на все непересекающиеся подмножества $N_{\gamma}$ конфигураций, определенные таким образом, что все конфигурации внутри каждого подмножества тождественны вне $X$ и любые две конфигурации с различными подмножествами различны вне $X$. Сумма по $m, m^{\prime}$ распространяется на все пары конфигураций внутри $j$-го подмножества. Если подмножество $j$ содержит только одну конфигурацию $h$, то вклад суммы по $m, m^{\prime}$ в оператор плотности равен $\left|b_{h-n}(\delta)\right|^{2} P_{h \mid X}^{X}$, где $P_{h \mid X}^{X}$ – оператор проектирования на состояния конфигурации $J_{h \mid X}^{X}$ на $X$ и $h \mid X$ – ограничение $h$ на $X$.
В этой формуле $l s j$ обозначает подходящую тройку, занесенную в $k$-ю клетку записи, а $P_{b}^{\mathscr{R}_{k}}$ и $P_{l_{s j}}^{\mathscr{R}_{k}}$ – соответствующие проекционные операторы на состояния $\Psi_{b}^{\mathscr{R}_{k}}$ и $\Psi_{l s j}^{\mathscr{R}_{k}}, P_{m}^{\gamma}$ – проекционный оператор на состояние системы $\psi_{m}^{\gamma}$. Штрих у символа следа означает, что при его вычислении исключаются переменные, относящиеся к $k$-й клетке.

Из приведенного выше равенства и свойств коэффициентов $b_{m-n}(\delta)$ следует, что при $\delta=0$ матрица плотности $\rho^{\mathscr{R}_{k}}(n \Delta)$ равна $P_{b}^{\mathscr{R}_{k}}$, если $0 \leqslant n \leqslant k$, или $q \leqslant n \leqslant N_{\gamma}$ и $\rho^{\mathscr{R}_{k}}(n \Delta)=P_{l s j}^{\mathscr{R}_{k}}$, если $k<n \leqslant J$. В эти моменты времени (кратные $\Delta$ ) приведенные выше квантовые состояния – чистые и описываются векторами $\Psi_{b}^{\mathscr{R}_{k}}$ и $\Psi_{l_{s j}}^{\mathscr{R}_{k}}$. В моменты времени $n \Delta+\delta, 0<\delta<\Delta$ матрица плотности $\rho^{\mathscr{R}_{k}}(n \Delta+\delta)$ описывает смесь чистых состояний $P_{b}^{\mathscr{R}_{k}}$ и $P_{l s j}^{\mathscr{R}_{k}}$, а также других состояний, которые могут внести вклад в правую часть равенства (54). Если $0 \leqslant n \leqslant k$ или $q \leqslant n<N_{\gamma}$, в смеси доминирует $P_{b}^{\mathscr{R}_{k}}$. Много ли других составляющих входит в смесь, зависит от величины $\delta$ и расстояния $m-n$ для всех $k+1<m<q-1$, или от того, сколь далеко расположены числа $m$ от $n$. Аналогичные вопросы возникают и разрешаются при $k+1 \leqslant n \leqslant J$.