Динамика квантовых компьютеров, хотя и по построению «конечная», все еще нефизична в одном важном отношении: их эволюция строго унитарна. Тем не менее, из третьего начала термодинамики (1.3) следует, что никакая реализуемая физическая система не может быть приведена в состояние, не коррелированное с внешними системами, так как ее энтропия тогда была бы нулевой. Поэтому любая реализуемая физическая система взаимодействует с другими системами в определенных состояниях. Но эффект ее динамической связи с внешними системами не может быть уменьшен до нуля конечным процессом, так как температура степеней свободы этой корреляции тогда была бы уменьшена до нуля. Поэтому не может быть реализуемого способа приведения системы в такие состояния, в которых оператор эволюции во времени не смешивает внутренние и внешние степени свободы.

Точное описание конечно реализуемой физической системы в $L$-мерном пространстве состояний $\mathscr{H}$ не может быть осуществлено с помощью векторов состояний в $\mathscr{H}$, а должно использовать матрицы плотности $\rho_{a}{ }^{b}$. В самом деле, в принципе разрешены все матрицы плотности, кроме (благодаря «энтропийной» половине третьего закона (1.3)) чистых случаев. Динамика такой системы порождается не унитарным оператором, а матрицей супер рассеяния $\$$ :
\[
\rho_{a}{ }^{b}(T)=\sum_{c, d} \$_{a}{ }^{b c}{ }_{d} \rho_{c}{ }^{d}(0) .
\]

Стоит отметить, что я не защищаю неунитарную динамику Вселенной в целом, что было бы ересью, противоречащей квантовой теории. Уравнение (3.7), конечно, является просто проекцией в $\mathscr{H}$ унитарной эволюции в высшем пространстве $\mathscr{H} \times \mathscr{H}^{\prime}$, где $\mathscr{H}^{\prime}$ представляет некоторую часть остальной Вселенной. Грубо говоря (системы далеки от равновесия), $\mathscr{H}^{\prime}$ играет роль «тепловой ванны».
Таким образом, общий оператор суперрассеяния
\[
\$_{a}{ }^{b c}{ }_{d}=\sum_{e^{\prime}, f^{\prime}, g^{\prime}} \mathrm{U}_{a e^{\prime}}{ }^{c f^{\prime}} \mathrm{U}^{b c^{\prime}}{ }_{d g^{\prime}} \bar{\rho}_{f^{\prime}}{ }^{g^{\prime}},
\]

где $\mathrm{U}_{a b^{\prime}}{ }^{c d^{\prime}}$ – унитарный оператор на $\mathscr{H} \times \mathscr{H}^{\prime}$, т. е.
\[
\sum_{c, d^{\prime}} \mathrm{U}_{a b^{\prime}} c d^{\prime} \mathrm{U}^{e f^{\prime}}{ }_{c d^{\prime}}=\delta_{a}{ }^{e} \delta_{b^{\prime}}{ }^{\prime},
\]

который не разлагается в произведение операторов на $\mathscr{H}$ и $\mathscr{H}^{\prime}$. (Поднятие и опускание индексов обозначает комплексное сопряжение.) Член $\bar{\rho}_{a^{\prime}}{ }^{\prime}$ можно приближенно трактовать как начальную матрицу плотности «тепловой ванны». Такое толкование было бы точным, если бы система, тепловая ванна и устройство, приведшее систему в начальное состояние, до этого не коррелировали. Перепишем (3.8) в $\mathscr{H}^{\prime}$ базисе, в котором $\bar{\rho}$ диагональна:
\[
\begin{array}{c}
\$_{a}{ }^{b c}{ }_{d}=\sum_{e^{\prime}, f^{\prime}} P_{f^{\prime}} \mathrm{U}_{a e^{\prime}} e f^{\prime} \mathrm{U}^{b e^{\prime}}{ }_{d f^{\prime}}, \\
\sum_{a^{\prime}} P_{a^{\prime}}=1
\end{array}
\]

где вероятности $P_{a^{\prime}}$ – собственные значения $\bar{\rho}$. Множество $\mathfrak{S}$ всех матриц суперрассеяния (3.8) или (3.10) лежит в подпространстве $\mathscr{J}$ пространства $\mathscr{H} \times \mathscr{H}^{*} \times \mathscr{H}^{*} \times \mathscr{H}$, а именно, в подпространстве, элементы
которого удовлетворяют равенству
\[
\sum_{a} \$_{a}{ }^{a b}{ }_{c}=\delta^{b}{ }_{c} .
\]

Каждый элемент $\mathfrak{S}$ удовлетворяет ограничениям
\[
0 \leqslant \sum_{a, b, c, d} \rho^{(1)}{ }_{b} \$_{a}{ }^{b c}{ }_{d} \rho^{(2)}{ }_{c}{ }^{d} \leqslant 1
\]

для произвольных матриц плотности $\rho^{(1)}$ и $\rho^{(2)}$.
Левое неравенство в (3.12) может стать равенством, только если состояния $\mathscr{H}$ образуют непересекающиеся подмножества, со строго нулевой вероятностью того, что тепловой шум может вызывать переходы между ними. Это невозможно, если только нет правил суперотбора, запрещающих такие переходы; исключая эту возможность, мы не теряем общности, потому что только один сектор со свойствами суперотбора можно реализовать как физическую систему в каждый момент времени. Правое неравенство становится равенством в точности в унитарном случае
\[
\$_{a}{ }^{b c}{ }_{d}=\mathrm{U}_{a}{ }^{c} \mathrm{U}^{b}{ }_{d},
\]

который нефизичен, потому что представляет полностью недиссипативную эволюцию. Таким образом множество физически реализуемых элементов $\mathfrak{S}$ – открытое множество в $\mathscr{J}$. Более того, для любых $\mathcal{Q}$ вычислимых $\$^{(1)}$ и $\$^{(2)}$ выпуклая линейная комбинация
\[
p_{1} \$^{(1)}+p_{2} \$^{(2)},
\]

где $p_{1}$ и $p_{2}$ – произвольные вероятности, также вычислима, благодаря генератору случайных чисел (3.2). Вычисляя унитарные преобразования, подобные (3.10), можно вычислить любой элемент в определенном счетном плотном подмножестве $\mathfrak{S}$. Но любая точка в любой открытой области конечномерного векторного пространства может быть представлена конечной выпуклой линейной комбинацией элементов любого плотного подмножества этого пространства. Следовательно, $\mathcal{Q}$ может полностью моделировать любую физическую систему с конечномерным пространством состояний. Поэтому квантовая теория совместима с принципом Чёрча-Тьюринга (1.2).

Вопрос о том, верно ли, что все конечные системы в физической Вселенной могут быть подобным образом промоделированы с помощью $\mathcal{Q}$, т. е. выполняется ли (1.2) в природе, должен оставаться открытым до тех пор, пока не будет лучшего понимания пространства состояний и динамики Вселенной. То немногое, что известно, как кажется, подтверждает этот принцип. Если теория термодинамики черных дыр заслуживает доверия, то никакая система, ограниченная поверхностью с определенной площадью $A$, не может иметь более, чем конечное число (Бекенштейн (Bekenstein), 1981)
\[
N(A)=\exp \left(A c^{3} / 4 \hbar G\right)
\]

различных достижимых состояний ( $\hbar$ – приведенная постоянная Планка, $G$ – гравитационная постоянная, $c$ – скорость света). То есть в подходящем базисе система может быть полностью описана с использованием $N(A)$-мерного пространства и, следовательно, полностью моделируется с помощью $\mathcal{Q}$.