Вернемся к квантовой механике – мы знаем непосредственно, что здесь, по-видимому, мы можем только предсказывать вероятности. Могу ли я сказать прямо, чтобы вы знали, куда я на самом деле намереваюсь двигаться, что у нас всегда были (секретно, секретно, прикройте двери!) большие трудности в понимании картины мира, предлагаемой квантовой механикой. По крайней мере у меня, поскольку я достаточно пожилой человек и не должен делать вид, что эти вещи очевидны для меня. Ладно, я всегда нервничаю по этому поводу. И, следовательно, некоторые из молодых студентов … вы знаете, как это всегда бывает, для каждой новой идеи нужно поколение или два, пока не станет очевидно, что на самом деле никакой проблемы нет. Для меня пока что не очевидно, что в действительности проблемы нет. Я не могу сформулировать реальную проблему, поэтому я подозреваю, что в действительности проблемы нет, но я не уверен, что нет никакой реальной проблемы. Вот почему я люблю исследовать эти задачи. Могу ли я узнать что-нибудь, задавая такие вопросы о компьютерах, хотя этот может быть, а может и не быть загадкой того, что представляет собой мир квантовой механики? Так, я знаю, что квантовая механика, кажется, использует вероятность, и, следовательно, я хочу говорить о моделировании вероятности.

Одним из способов получить компьютер, моделирующий теорию вероятностей, нечто, содержащее в себе вероятность, может быть вычисление вероятности и затем использовать интерпретацию этих чисел для представления природы. Например, предположим, что частица с вероятностью $P(x, t)$ находится в точке $x$ в момент времени $t$. В типичном случае такая вероятность удовлетворяет дифференциальному уравнению, как, например, при диффузии частицы:
\[
\frac{\partial P(x, t)}{\partial t}=-
abla^{2} P(x, t) .
\]
Теперь мы можем сделать $x$ и $t$ дискретными и, возможно, даже саму вероятность и решить это дифференциальное уравнение, как мы решаем любое обычное уравнение поля, и получить для этого алгоритм, сделав его однозначным, используя переход к дискретности. Во-первых возникает задача перехода к дискретной вероятности. Если мы будем использовать только $k$ цифр, это будет означать, что в случае когда события происходят с вероятностью меньше чем $2^{-k}$, будем говорить, что события не происходят совсем. На практике мы так и делаем. Если вероятность какого-либо события $10^{-700}$, мы говорим, что это событие не произойдет, и мы очень редко бываем не правы. Так что мы можем позволить себе это сделать. Но реальная трудность состоит в следующем: если у нас много частиц в системе, например $R$, то мы могли бы описать вероятность событий, задавая вероятность найти эти частицы в точках $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{R}$ в момент времени $t$. Это было бы описанием вероятности системы. И, следовательно, вам нужно $k$-цифровое число для каждой конфигурации системы, для каждого набора из $R$ значений $x$. И, следовательно, если имеется $N$ точек пространства, нам нужно $N^{R}$ конфигураций. На самом деле, с нашей точки зрения в каждой точке пространства есть информация подобно электрическим полям и т.д., $R$ будет того же порядка, что и $N$, если битов информации столько, сколько число точек пространства, и, следовательно, нужно описать что-то около $N^{N}$ конфигураций, чтобы получить вероятность, и это слишком много, чтобы содержаться в нашем компьютере, если размер компьютера порядка $N$.

Мы подчеркиваем, что если описание изолированной части природы с $N$ переменными требует общей функции $N$ переменных и если компьютер моделирует природу вычислением или хранением этой функции, то удвоение размера этой части природы $(N \rightarrow 2 N$ ) потребует экспоненциального роста размеров моделирующего компьютера. Таким образом, в соответствии с установленными правилами невозможно моделировать природу вычислением вероятности.

Существует ли какой-нибудь другой способ? Какого рода моделирование возможно? Мы не можем вычислять вероятности конфигураций для вероятностной теории. Но другой способ моделировать вероятностную природу, которую я сейчас обозначу $\mathscr{P}$, – это моделирование вероятностной природы компьютером $\mathscr{C}$, который вероятностен сам по себе, в котором вы, например, всегда получаете случайным образом последние две цифры каждого числа, или вы делаете нечто ужасное с компьютером. Так возникает то, что я называю вероятностным компьютером, в котором выходные данные не являются однозначной функцией входных. И вы можете сделать компьютер таким, чтобы он моделировал природу в следующем смысле: $\mathscr{C}$ переходит от какого-то состояния – начального состояния, если хотите – в какое-то конечное состояние $c$ той же вероятностью, с какой $\mathscr{P}$ переходит из соответствующего начального состояния в соответствующее конечное состояние. Конечно, когда вы запустите машину и начнете сравнивать с природой, имитатор не будет делать то же самое, он просто будет получать результат с той же вероятностью. Это нехорошо? Нет, здесь все в порядке. Откуда вы знаете, какой будет вероятность? Знаете, природа непредсказуема; как вы предполагаете предсказать ее на компьютере? Вы не можете – она непредсказуема, если она вероятностна. Но что вы в действительности можете сделать с вероятностной системой повторить эксперимент в природе большое количество раз. Если вы повторяете тот же эксперимент на компьютере большое количество раз (и это, конечно, займет не больше времени, чем делать то же самое в природе), это даст частоту данного конечного состояния пропорционально числу экспериментов примерно с той же частотой (плюс-минус квадратный корень из $n$ и все такое), как это случается в природе. Другими словами, я думаю, что мы можем представить и быть абсолютно удовлетворены тем, что вероятностно моделируем вероятностную природу. При моделировании машина не делает в точности то же, что и природа, но если вы повторяете определенный тип эксперимента достаточное количество раз, чтобы определить вероятность природы, а затем делаете соответствующий эксперимент на компьютере, то вы получите соответствующую вероятность с соответствующей точностью (с точностью статистики).

Теперь давайте подумаем о характеристиках локального вероятностного компьютера, поскольку я хочу увидеть, могу ли я имитировать природу таким способом (под «природой» я буду подразумевать квантовую механику)? Одна из характеристик природы – то, что вы можете определить ее поведение в локальной области, просто не рассматривая, что делается в других областях. Например, предположим, что в системе есть переменные, описывающие весь мир $\left(x_{A}, x_{B}\right)$ : переменные $x_{A}$, которые вас интересуют, они «где-то здесь»; $x_{B}$ – результат для всего мира. Если вы хотите знать вероятность того, что что-то произойдет в этом месте, вы можете получить ее интегрированием всей вероятности всех видов возможностей по $x_{B}$. Если мы вычислили эту вероятность, нам еще нужно взять интеграл
\[
P_{A}\left(x_{A}\right)=\int P\left(x_{A}, x_{B}\right) d x_{B},
\]

а это тяжелая работа! Но если мы имитируем вероятность, то это сделать очень просто: нам не придется ничего интегрировать, мы просто отбрасываем значения величины $x_{B}$ и рассматриваем область $x_{A}$. Следовательно, имитация и в самом деле имеет природные характеристики: локально вы можете найти, что происходит в области не интегрированием или проведением какой-то дополнительной операции, но просто игнорированием того, что происходит где-то еще, а это не операция, вовсе нет.

Другой аспект, который я хотел бы особо выделить, – это то, что уравнения, без сомнения, будут иметь примерно следующую форму. Пусть каждая точка $i=1,2, \ldots, N$ в пространстве будет в состоянии $s_{i}$, выбранном из малого набора состояний (размер этого набора должен быть разумным, скажем, до $2^{5}$ ). И пусть вероятность найти какую-то конфигурацию $\left\{s_{i}\right\}$ (набор величин в состоянии $s_{i}$ в каждой точке $i$ ) будет какое-то число $P\left(\left\{s_{i}\right\}\right)$. Оно удовлетворяет такому уравнению, что при каждом изменении времени
\[
P_{t+1}(\{s\})=\sum_{\left\{s^{\prime}\right\}}\left[\prod_{i} m\left(s_{i} \mid s_{j}^{\prime}, s_{k}^{\prime}, \ldots\right)\right] P_{t}\left(\left\{s^{\prime}\right\}\right),
\]

где $m\left(s_{i} \mid s_{j}^{\prime}, s_{k}^{\prime}, \ldots\right)$ – вероятность того, что мы перейдем в состояние $s_{i}$ в точке $i$, если соседние точки имеют значения $s_{j}^{\prime}, s_{k}^{\prime}, \ldots$, где $j, k$ и т.д. – точки в окрестности $i$. Как только $j$ удаляется от $i, m$ становится даже менее чувствительной к $s_{i}^{\prime}$. При каждом изменении состояние в выбранной точке $i$ будет переходить от того, чем оно было, к состоянию $s$ с вероятностью $m$, которая зависит только от состояний в окрестности (которая может быть определена так, чтобы включать саму точку $i$ ). Это дает вероятность перехода. Это точно так же, как и в клеточном автомате; только вместо определенности – вероятность. Скажите мне об окружении, и я скажу вам вероятность того, что после следующего момента эта точка будет в состоянии $s$. И это способ работы, согласны? Так что у вас есть математические уравнения подобной формы.

Теперь я перехожу к вопросу, как мы можем моделировать на компьютере – универсальном автомате или что-то в этом роде квантовомеханические эффекты. (Обычная формулировка – квантовая механика имеет некоторый тип дифференциального уравнения для функции $\psi$ ). Если у вас одна частица, $\psi$ есть функция $x$ и $t$, и это дифференциальное уравнение может быть смоделировано так же, как мое вероятностное уравнение (см. выше). Здесь все в порядке, и есть люди, которые сделали маленькие компьютеры, которые моделируют уравнение Шредингера для одной частицы. Но полное описание квантовой механики для большой системы с $R$ частицами дается функцией $\psi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{R}, t\right)$, которую мы называем амплитудой для нахождения частиц $x_{1}, \ldots, x_{R}$, и, следовательно, поскольку переменных слишком много, ее нельзя моделировать обычным компьютером с числом элементов, пропорциональным $R$ или $N$. Мы имеем те же трудности с вероятностями в классической физике. И, следовательно, проблема заключается в том, как можно моделировать квантовую механику. Есть два подхода к решению этой проблемы. Мы можем отбросить наши правила относительно того, что есть компьютер, мы можем сказать: «Пусть компьютер как таковой будет построен из квантовомеханических элементов, подчиняющихся квантовомеханическим законам». Или мы можем свернуть на другую дорогу и сказать: «Пусть компьютер будет тот же, что мы предполагали вначале – логический универсальный автомат; можем ли мы имитировать эту ситуацию?» И я собираюсь разделить мой доклад на этом месте, поскольку он разветвляется на два пути.