В дополнение к предварительному общему рассмотрению дадим теперь более подробный анализ переключения в системе, представленной в виде бистабильной потенциальной ямы, как показано на одномерном рис. 1, с барьером, большим по сравнению с $k T$. Допустим, кроме того, что переключение осуществляется под действием дополнительной силы, увеличивающей энергию одной ямы по сравнению с другой, но сохраняющей при этом барьер, который должен быть преодолен тепловым возбуждением. (Достаточно большая сила может просто полностью уничтожить один из минимумов. Поэтому переключающие силы будут считаться малыми.) Рассмотрим теперь статистический ансамбль систем с двойными ямами с неравновесным распределением, и зададимся вопросом, как быстро будет достигнуто равновесие. Этот вопрос детально исследован в статье [2], и здесь мы ограничимся весьма простым кинетическим анализом, который приводит к тому же ответу. Пусть $n_{A}$ и $n_{B}$ – числа членов ансамбля в ямах $A$ и $B$ соответственно. $U_{A}, U_{B}$ энергии минимумов каждой ямы, а $U$ – высота барьера между ними. Тогда скорость, с которой частицы переходят из ямы $A$ в яму $B$, будет иметь вид $
u n_{A} \exp \left[-\left(U-U_{A}\right) / k T\right]$. Поток из $B$ в яму $A$ равен тогда $
u n_{B} \exp \left[-\left(U-U_{B}\right) / k T\right]$. Два множителя, определяющих частоты, принимаются равными, поскольку их разность несущественна по сравнению с разностью экспонент. Имеем:
\[
\begin{aligned}
\frac{d n_{A}}{d t} & =-
u n_{A} \exp \left[-\left(U-U_{A}\right) / k T\right]+
u n_{B} \exp \left[-\left(U-U_{B}\right) / k T\right] \\
\frac{d n_{B}}{d t} & =
u n_{A} \exp \left[-\left(U-U_{A}\right) / k T\right]-
u n_{B} \exp \left[-\left(U-U_{B}\right) / k T\right]
\end{aligned}
\]

Можно рассматривать уравнения (5.1) как линейное преобразование $\left(n_{A}, n_{B}\right)$ в $\left(\frac{d n_{A}}{d t}, \frac{d n_{B}}{d t}\right)$. Характеристические числа этого преобразования суть
\[
\lambda_{1}=0, \quad \lambda_{2}=-
u \exp \left[\left(U-U_{A}\right) / k T\right]-
u \exp \left[-\left(U-U_{B}\right) / k T\right] .
\]

Собственное значение $\lambda_{1}=0$ соответствует независящей от времени заселенности ямы. Это – равновесное распределение
\[
n_{A}=n_{B} \exp \frac{U_{B}-U_{A}}{k T} .
\]

Остающееся отрицательное собственное значение должно быть поставлено в соответствие отклонениям от равновесия, а $\exp \left(-\lambda_{2} t\right)$ определяет скорость исчезновения этих отклонений. Время релаксации $\tau$ выражается, следовательно, через величину $U_{0}$, которая является средним $U_{A}$ и $U_{B}$
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\tau}=\lambda_{2}=
u \exp [ & \left.-\left(U-U_{0}\right) / k T\right] \times \\
\times & \left\{\exp \left[-\left(U_{0}-U_{A}\right) / k T\right]+\exp \left[-\left(U_{0}-U_{B}\right) / k T\right]\right\} .
\end{aligned}
\]

Средняя энергия $U_{0}$ в уравнении (5.2) сокращается, и уравнение (5.2) выполняется вне зависимости от определения $U_{0}$. Обозначая $\Delta=\frac{1}{2}\left(U_{A}-U_{B}\right)$, перепишем уравнение (5.2) в виде
\[
\frac{1}{\tau}=2
u \exp \left[-\left(U-U_{0}\right) / k T\right] \operatorname{ch}(\Delta / k T) .
\]

В первом порядке по переключающей силе, обуславливающей различие между $U_{A}$ и $U_{B},\left(U-U_{0}\right)$ не изменяется, и уравнение (5.3) можно переписать как
\[
\frac{1}{\tau}=\frac{1}{\tau_{0}} \operatorname{ch}(\Delta / k T),
\]
где $\tau_{0}$ – время релаксации для симметричной потенциальной ямы, когда $\Delta=0$. Это уравнение демонстрирует полезность данного устройства. Время релаксации $\tau_{0}$ характеризует промежуток времени, необходимый для нагревания бистабильного устройства, и представляет собой максимальное время, через которое с устройством можно начать работать. С другой стороны, $\tau$ является минимальным временем переключения. Таким образом, $\operatorname{ch}(\Delta / k T)$ представляет максимальное число переключений за время жизни информации. Оно может быть большим, следовательно, устройство может быть полезным. Даже если $\Delta$ достаточно велико для нарушения приближения первого порядка, в котором $\left(U-U_{0}\right)$ – константа, экспоненциальная зависимость $\operatorname{ch}(\Delta / k T)$ от $\Delta$ в уравнении (5.3) перевесит изменения в $\exp \left[\left(U-U_{0}\right) / k T\right.$, и $\tau_{0} / \tau$ останется быстрорастущей функцией $\Delta$.

Отметим, что $\Delta$ равна половине энергии, рассеивающейся в процессе переключения. Тепловые распределения вероятностей в каждой яме будут практически одинаковыми до и после переключения, единственная разница в том, что конечная яма на $2 \Delta$ ниже исходной. Эта разница в энергиях рассеивается и соответствует энергии для половины площади петли гистерезиса энергии, обычно связывающейся с переключением. Уравнение (5.4) подтверждает, таким образом, хорошо известный эмпирический факт, что увеличение скорости переключения может быть достигнуто только ценой повышения диссипации на одно переключение. Уравнение (5.4) выполняется, однако, только для специального класса моделей и не может применяться в общем случае. Чтобы показать это, рассмотрим альтернативную модель. Допустим, что информация сохраняется положением частицы на прямой и что $x= \pm a$ соответствуют нулю и единице. Не предполагается существование никакого барьера, но случайное диффузионное движение частиц принимается достаточно медленным, так что положение будет сохраняться на приемлемо продолжительном промежутке времени. (Эта модель, вероятно, имеет больше общего с поведением ферритов и ферроэлектриков, когда переключение связано с движением доменной стенки, чем предыдущая модель с бистабильной ямой. Разница в энергиях между полностью и частично переключенными ферритами чрезвычайно мала, и имеет место низкая подвижность доменной стенки, удерживающей частицу вблизи ее начального состояния в отсутствие переключающих
сил, а это начальное состояние может с равным успехом быть как частично, так и полностью переключенным. С другой стороны, если исследовать подвижность доменной стенки на довольно микроскопических масштабах, она, вероятно, будет снова связана с преодолением барьеров.) В этом случае частицы диффундируют на типичное расстояние $s$ за время $\tau \sim s^{2} / 2 D$, где $D$ – постоянная диффузии. Расстояние, соответствующее потере информации, есть $s \sim a$, время релаксации $\tau_{0} \sim a^{2} / 2 D$. В присутствии силы $F$ частица движется со скоростью $\mu F$, где подвижность $\mu$ определяется отношением Эйнштейна как $D / k T$. Чтобы передвинуть частицу переключающей силой $F$ на расстояние $2 a$, требуется время $\tau_{s}$ :
\[
\mu F \tau_{s}=2 a,
\]

или
\[
\tau_{s}=2 a / \mu F .
\]

Диссипация энергии $2 \Delta$ есть $2 a F$. Это следует из уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\tau_{s}=2 a^{2} / \mu \Delta, \\
\tau_{s} / \tau_{0}=4 k T / \Delta,
\end{array}
\]

которые демонстрируют такой же характер зависимости $\tau_{s}$ от $\Delta$, как и для случая с барьером, но не включая экспоненциальное изменение с показателем $\Delta / k T$. Если не принимать во внимание остальные аргументы, становится ясно, что бистабильный элемент энергии уравнения (5.4) нужно предпочесть диффузионно стабилизированному элементу уравнения (5.8).

Приведенные выше примеры позволяют глубже понять необходимость диссипации энергии, неявно подтверждающуюся рассуждениями, использующими свойства энтропии. В операции установка в единицу требовалось установить систему в состояние единица вне зависимости от ее начального состояния. Это делалось посредством понижения энергии состояния единица относительно состояния нуль. Частица переходит в состояние с низшей энергией, рассеивая при этом избыток энергии, имевшийся в начальном состоянии.