Метод, который будет применен для построения модели с гамильтонианом, не зависящим от времени, основан на следующем наблюдении. В приведенной выше конструкции происхождение зависимости от времени скрывалось в необходимости последовательных изменений типа гамильтониана, чтобы за время $\Delta$ совершилось три превращения, вызываемые операторами $V_{1}, V_{2}$ и $V_{3}$. Однако нет причин, по которым эволюция системы не может ускориться так, чтобы за интервал $\Delta$ выполнялась бы операция $V$, объединяющая все три шага – запись, вычисление и сдвиг. Чтобы осуществить это, нужно построить унитарный оператор $V$, который в терминах чисел $(l \gamma j k \phi)$ действовал бы следующим образом:
\[
V \Psi_{l \gamma j k \phi}=\Psi_{l^{\prime} \gamma^{\prime} j^{\prime} k^{\prime} \phi^{\prime}},
\]

где $\Psi_{l \gamma j k \phi}$ и $\Psi_{l^{\prime} \gamma^{\prime} j^{\prime} k^{\prime} \phi^{\prime}}$ связаны соотношением
\[
V_{3} V_{2} V_{1} \Psi_{l \gamma j k \phi}=i \Psi_{l^{\prime} \gamma^{\prime} j^{\prime} k^{\prime} \phi^{\prime}} .
\]

Связь между штрихованными и нештрихованными величинами в уравнении (36) определяется равенствами (21), (24) и (26). Детали соответствующего вывода предоставляются читателю. Заметим только, что если пятерки ( $l \gamma j k \phi$ ) описывают состояние (стандартной) машины Тьюринга в конце $n$-го шага стандартного вычисления $(n<J)$, то $\left(l^{\prime} \gamma^{\prime} j^{\prime} k^{\prime} \phi^{\prime}\right)$ описывает состояние машины в конце $(n+1)$-го шага. Существует много конфигураций ( $l \gamma j k \phi)$, не соответствующих ни одному из состояний машины Тьюринга. Кроме того, в силу построений раздела 2 существуют конфигурации $f$ : которые нельзя представить какимнибудь набором $(l \gamma j k \phi)$. В качестве примера приведем конфигурацию, в которой головка $\mathbf{j}$ записала более чем один (+)-спин. В таких конфигурациях оператор $V$ может сводиться к тождественному, а может и не быть им – все зависит от конфигурации.

Рассмотрим некоторый вектор $\Psi_{1 \gamma 00 \underline{b}}$, который представляет начальное состояние стандартного вычисления (раздел 3 ). Пусть $N_{\gamma}$ некоторое число, определяемое условием $V^{N_{\gamma}} \Psi_{1 \gamma 00 \underline{b}}=\Psi_{1 \gamma 00 \underline{b}}$. Такое число существует, потому что $V$ – унитарный оператор, а множество конфигураций на решетке конечно. Определим орбиту $V$ при $\Psi_{1 \gamma 00 b}$ как множество состояний $\left\{V^{n} \Psi_{1 \gamma 00 b} \mid n=0,1, \ldots, N_{\gamma}-1\right\}$.

Для каждого $\gamma$ существует орбита длины $N_{\gamma}$. Поскольку $V$ унитарный оператор, не существует двух орбит, обладающих общими состояниями. Заметим, что $N_{\gamma}>J$ при всех $\gamma$. В результате $J$ итераций оператора $V$, примененных к вектору $\Psi_{1 \gamma 00}$, соответствуют выполнению $J$ вычислительных шагов машиной Тьюринга. Продолжение итераций $V$ вплоть до $N_{\gamma}-1$ разрушает представление, т. к. получающиеся состояния не соответствуют состояниям, получаемым при вычислении. Однако эффектом продолжения итераций является уничтожение записей и результатов вычисления, что приводит в конце концов к начальному состоянию.

Кроме перечисленных выше, существует много других нетривиальных орбит. Любую конфигурацию решетки $f$, для которой $\Psi_{f}$ не содержится в уже построенных орбитах, можно использовать для создания новых орбит. Применяя эту процедуру, можно исчерпать запас состояний конфигураций решетки и найти все орбиты оператора $V$. Все сказанное легко перевести на язык стандартного пространства Гильберта. Гильбертово пространство решетки $\mathscr{H}$, натянутое на все состояния конфигураций, можно разложить на множество замкнутых подпространств, которые нетривиальны и неприводимы относительно оператора $V$ и находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами. Каждое подпространство натянуто на состояния соответствующей орбиты. В частности, для каждого стандартного выражения на ленте $\gamma$ существует подпространство $\mathscr{H}_{\gamma}$, натянутое на $\left\{V^{n} \Psi_{1 \gamma 00 \underline{b}} \mid n=0,1, \ldots, N_{\gamma}-1\right\}$.

Пусть $\mathscr{H}_{1}, \mathscr{H}_{2}, \ldots, \mathscr{H}_{N}$ – это все $V$-инвариантные неприводимые подпространства, а $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{N}$ – проекционные операторы, выделяющие эти подпространства. Оператор $V$ можно представить в форме
\[
V=\sum_{j=1}^{N} V_{j} P_{j},
\]

где $V_{j} \mathscr{H}_{j}=\mathscr{H}_{j}=P_{j} \mathscr{H}$ и $\left[V_{j}, P_{j}\right]=0$. Нас интересуют подпространства $\mathscr{H}_{\gamma}$ с проекционными операторами $P_{\gamma}$ и сужения $V_{\gamma}$ оператора $V$ на $\mathscr{H}_{\gamma}$. Для этой цели определим другой оператор $W$ :
\[
W=\sum_{\gamma} V_{\gamma} P_{\gamma}+\left(1-\sum_{\gamma} P_{\gamma}\right),
\]

где сумма берется по всем возможным при стандартном вычислении начальным выражениям на ленте. $W$ – унитарный оператор, совпадающий с $V$ на подпространствах $\mathscr{H}_{\gamma}$ и действующий как единичный в других областях.

Наша цель – построить полный гамильтониан $H$, удовлетворяющий соотношению
\[
W=e^{-i \Delta H} .
\]

Для этого полезно найти в каждом подпространстве $\mathscr{H}_{\gamma}$ собственные значения и собственные векторы оператора $V_{\gamma}$. (Излагаемый метод един для всех конечномерных пространств и его можно применить к любому оператору $V_{j}$ из разложения $V$ ).

Фиксируем $\gamma$ и рассмотрим векторы $\Psi_{0}^{\gamma}, \Psi_{1}^{\gamma}, \ldots, \Psi_{N_{\gamma}-1}^{\gamma}$ в $\mathscr{H}^{\gamma}$, определяемые равенствами $\Psi_{n}^{\gamma}=V^{n} \Psi_{1 \gamma 00 \underline{b}}$ для $n=0,1, \ldots, N_{\gamma}-1$. Для $n \leqslant J$ вектор $\Psi_{n}$ представляет состояние машины Тьюринга после $n$ шагов вычисления. Очевидно, что
\[
V_{\gamma} \Psi_{n}^{\gamma}=\Psi_{n+1}^{\gamma},
\]

с тем уточнением, что если $n=N_{\gamma}-1$, то $n+1$ следует положить равным 0.

Вышеприведенное показывает, что $V_{\gamma}$ – это оператор двустороннего сдвига в $\mathscr{H}_{\gamma}$. Поскольку пространство $\mathscr{H}_{\gamma}$ конечномерно, то спектр $V_{\gamma}$ чисто дискретен. Собственные значения и собственные векторы таких операторов известны. Собственные значения $V_{\gamma}-N_{\gamma}$-е
корни из единицы $-\alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{N_{\gamma}-1}$, определяемые формулой
\[
\alpha_{l}=\exp \left(-\frac{2 \pi i l}{N_{\gamma}}\right) .
\]

Собственные векторы $\Phi_{0}^{\gamma}, \Phi_{1}^{\gamma}, \ldots, \Phi_{N_{\gamma}-1}^{\gamma}$ определяются выражениями
\[
\Phi_{l}^{\gamma}=\frac{1}{\sqrt{N_{\gamma}}} \sum_{j=0}^{N_{\gamma}-1}\left(\alpha_{l}\right)^{-j+1} \Psi_{j}^{\gamma} .
\]

Ясно, что
\[
V_{\gamma} \Phi_{l}^{\gamma}=\alpha_{l} \Phi_{l}^{\gamma} .
\]

Гамильтониан $H$ должен удовлетворять равенствам (37) и (38). Потребуем, чтобы его можно было представить в форме
\[
H=\sum_{\gamma} H_{\gamma},
\]

где для каждого стандартного выражения $\gamma$ на вычислительной ленте оператор $H_{\gamma}$ действует нетривиально только в пространстве $\mathscr{H}_{\gamma}$ и равен нулю в других областях. Кроме того, должно выполняться равенство $V_{\gamma}=\exp \left(-i H_{\gamma} \Delta\right)$. В этом случае для всех $t$ оператор $W(t)=$ $\exp (-i H t)$ удовлетворяет равенству
\[
W(t)=\sum_{\gamma} e^{-i H_{\gamma} t} P_{\gamma}+1\left(1-\sum_{\gamma} P_{\gamma}\right),
\]
т. к. $H_{\gamma} H_{\gamma^{\prime}}=0$ при $\gamma
eq \gamma^{\prime}$.

Можно определить различные гамильтонианы $H_{\gamma}$, удовлетворяющие равенству $\exp \left(-i \Delta H_{\gamma}\right)=V_{\gamma}$. Вот один из таких операторов $(\hbar=1)$ :
\[
H_{\gamma}=\sum_{l=0}^{N_{\gamma}-1} \frac{2 \pi}{\Delta} \frac{l}{N_{\gamma}} Q_{l}^{\gamma},
\]

где $Q_{l}^{\gamma}$ – оператор проектирования на собственный вектор $\Phi_{l}^{\gamma}$. Заметим, что оператор $H_{\gamma}=\sum_{l=0}^{N_{\gamma}-1}(2 \pi / \Delta)\left(l / N_{\gamma}+n_{l}^{\gamma}\right) Q_{l}^{\gamma}$, где $n_{l}^{\gamma}-$ произвольное целое число, также согласуется с условиями (37) и (38). Равенство (44) – простейшая из всех возможностей: $n_{l}^{\gamma}=0$ для всех $l$ и $\gamma$.

Пусть $V_{\gamma}(t)=\exp \left(-i H_{\gamma} t\right)$ – оператор сдвига во времени для гамильтониана $H_{\gamma}$, определенного равенством (44). Тогда
\[
V_{\gamma}(t)=\sum_{l=0}^{N_{\gamma}-1} \exp \frac{-2 \pi i l t}{N_{\gamma} \Delta} Q_{l}^{\gamma} .
\]

Формулы (44) и (45) задают гамильтониан $H_{\gamma}$ и оператор сдвига во времени $V_{\gamma}(t)$ в терминах собственных векторов $Q_{l}^{\gamma}$. Удобно выразить $V_{\gamma}(t)$ и $H_{\gamma}$ непосредственно в терминах проекционных и обменных операторов в спиновом конфигурационном пространстве. Используя равенства (40) и (41), можно представить проецционные операторы $Q_{l}^{\gamma}$ как
\[
\left.Q_{l}^{\gamma}=\frac{1}{N_{\gamma}} \sum_{j, k=0}^{N_{\gamma}-1} \exp \left(\frac{-2 \pi i l}{N_{\gamma}}(j-k)\right) \Psi_{j}^{\gamma}\right\rangle\left\langle\Psi_{k}^{\gamma} .\right.
\]

Заметим, что
\[
\left.\Psi_{j}^{\gamma}\right\rangle\left\langle\Psi_{k}^{\gamma}=\sigma_{j k} P_{k}^{\gamma},\right.
\]

где $\sigma_{j k}$ – оператор перестановки конфигураций $j$ и $k$, определенный равенством (14). Конфигурации $j$ и $k$, которые соответствуют состоянию системы на $j$-м и $k$-м шагах вычисления, определены во всей решетке, изображенной на рис. $1, P_{k}^{\gamma}$ – оператор проектирования на состояние $\Psi_{k}^{\gamma}$. С помощью равенств (46) и (47) гамильтониан можно представить так:
\[
H_{\gamma}=\sum_{j, k=0}^{N_{\gamma}-1} d_{j k} \sigma_{j k}^{\gamma} P_{k}^{\gamma},
\]

где коэффициенты $d_{j k}$ равны
\[
d_{j k}=\sum_{l=0}^{N_{\gamma}-1} \frac{2 \pi l}{\Delta N_{\gamma}^{2}} \exp \frac{2 \pi i l(j-k)}{N_{\gamma}} .
\]
Оператор сдвига во времени равен
\[
V_{\gamma}(t)=\sum_{j, k=0}^{N_{\gamma}-1} b_{j k}(t) \sigma_{j k}^{\gamma} P_{k}^{\gamma},
\]

где коэффициенты $b_{j k}(t)$ определяются формулой
\[
b_{j k}(t)=\frac{1}{N_{\gamma}} \sum_{l=0}^{N_{\gamma}-1} \exp \left(-\frac{2 \pi i l}{N_{\gamma}}\left(\frac{t}{\Delta}+k-j\right)\right) .
\]

Ясно, что определенный равенствами (42) и (44) или (48) гамильтониан обладает требуемыми свойствами. Он не зависит от времени. Закон эволюции начального состояния $\Psi(t)=\exp (-i H t) \Psi_{1 \gamma 00 b}$ таков, что вектор состояния в момент времени $t=n \Delta, \Psi(n \Delta)=\bar{\Psi}_{n}^{\gamma}$ соответствует конфигурации системы после $n$ шагов вычисления. (Заметим, что $\Psi_{1 \gamma 00 \underline{b}}=\Psi_{0}^{\gamma}$.) Это следует из того обстоятельства, что в силу (51) числа $b_{j k}(n \Delta)$ равны нулю, если не выполняются соотношения $n\left(\bmod N_{\gamma}\right)+k-j=0$ или $N_{\gamma}$. В двух последних случаях $b_{j k}(n \Delta)=1$. Для $t=N_{\gamma} \Delta$ – времени завершения цикла для каждого состояния из $\mathscr{H}_{\gamma}$ справедливо равенство $W\left(N_{\gamma} \Delta\right) \Psi_{n}^{\gamma}=\Psi_{n}^{\gamma}$ для каждого $n<N_{\gamma}$. Таким образом, если начать вычисление в момент времени $t=0$, выйдя из начального состояния $\Psi_{1 \gamma 00 b}$, то в момент $N_{\gamma} \Delta$ мы вернемся в начальное состояние.

Действие $W(t)$ на состояния за промежуток времени, не кратный $\Delta$, определяется формулой (50). В частности, пусть $t=n \Delta+\delta$, где $0 \leqslant \delta \leqslant 1$. Тогда $W(t)$ (или, что эквивалентно, $V_{\gamma}(t)$ ), действуя на $\Psi_{1 \gamma 00 \underline{b}}$, дает
\[
\Psi(n \Delta+\delta)=\sum_{m=0}^{N_{\gamma}-1} b_{m-n}(\delta) \Psi_{m}^{\gamma} .
\]

Здесь было использовано (см. (51)) соотношение $b_{m 0}(n \Delta+\delta)=b_{m n}(\delta)=$ $=b_{m-n}(\delta)$.