Метод, который будет применен для построения модели с гамильтонианом, не зависящим от времени, основан на следующем наблюдении. В приведенной выше конструкции происхождение зависимости от времени скрывалось в необходимости последовательных изменений типа гамильтониана, чтобы за время $\mathrm{\Delta }$ совершилось три превращения, вызываемые операторами $V_1,V_2$ и $V_3$. Однако нет причин, по которым эволюция системы не может ускориться так, чтобы за интервал $\mathrm{\Delta }$ выполнялась бы операция $V$, объединяющая все три шага — запись, вычисление и сдвиг. Чтобы осуществить это, нужно построить унитарный оператор $V$, который в терминах чисел $(l\gamma jk\varphi )$ действовал бы следующим образом:
$$V{\mathrm{\Psi }}_{l\gamma jk\varphi }={\mathrm{\Psi }}_{l^{\prime }{\gamma }^{\prime }{j}^{\prime }{k}^{\prime }{\varphi }^{\prime }},$$

где ${\mathrm{\Psi }}_{l\gamma jk\varphi }$ и ${\mathrm{\Psi }}_{l^{\prime }{\gamma }^{\prime }{j}^{\prime }{k}^{\prime }{\varphi }^{\prime }}$ связаны соотношением
$$V_3{V}_2{V}_1{\mathrm{\Psi }}_{l\gamma jk\varphi }=i{\mathrm{\Psi }}_{l^{\prime }{\gamma }^{\prime }{j}^{\prime }{k}^{\prime }{\varphi }^{\prime }}.$$

Связь между штрихованными и нештрихованными величинами в уравнении (36) определяется равенствами (21), (24) и (26). Детали соответствующего вывода предоставляются читателю. Заметим только, что если пятерки ( $l\gamma jk\varphi$ ) описывают состояние (стандартной) машины Тьюринга в конце $n$-го шага стандартного вычисления , то $\left(l^{\prime }{\gamma }^{\prime }{j}^{\prime }{k}^{\prime }{\varphi }^{\prime }\right)$ описывает состояние машины в конце $(n+1)$-го шага. Существует много конфигураций ( $l\gamma jk\varphi )$, не соответствующих ни одному из состояний машины Тьюринга. Кроме того, в силу построений раздела 2 существуют конфигурации $f$ : которые нельзя представить какимнибудь набором $(l\gamma jk\varphi )$. В качестве примера приведем конфигурацию, в которой головка $\mathbf{j}$ записала более чем один (+)-спин. В таких конфигурациях оператор $V$ может сводиться к тождественному, а может и не быть им — все зависит от конфигурации.

Рассмотрим некоторый вектор ${\mathrm{\Psi }}_{1\gamma 00\underset{―}{b}}$, который представляет начальное состояние стандартного вычисления (раздел 3 ). Пусть $N_{\gamma }$ некоторое число, определяемое условием $V^{N_{\gamma }}{\mathrm{\Psi }}_{1\gamma 00\underset{―}{b}}={\mathrm{\Psi }}_{1\gamma 00\underset{―}{b}}$. Такое число существует, потому что $V$ — унитарный оператор, а множество конфигураций на решетке конечно. Определим орбиту $V$ при ${\mathrm{\Psi }}_{1\gamma 00b}$ как множество состояний $\{V^n{\mathrm{\Psi }}_{1\gamma 00b}\mid n=0,1,\dots ,N_{\gamma }-1\}$.

Для каждого $\gamma$ существует орбита длины $N_{\gamma }$. Поскольку $V$ унитарный оператор, не существует двух орбит, обладающих общими состояниями. Заметим, что при всех $\gamma$. В результате $J$ итераций оператора $V$, примененных к вектору ${\mathrm{\Psi }}_{1\gamma 00}$, соответствуют выполнению $J$ вычислительных шагов машиной Тьюринга. Продолжение итераций $V$ вплоть до $N_{\gamma }-1$ разрушает представление, т. к. получающиеся состояния не соответствуют состояниям, получаемым при вычислении. Однако эффектом продолжения итераций является уничтожение записей и результатов вычисления, что приводит в конце концов к начальному состоянию.

Кроме перечисленных выше, существует много других нетривиальных орбит. Любую конфигурацию решетки $f$, для которой ${\mathrm{\Psi }}_f$ не содержится в уже построенных орбитах, можно использовать для создания новых орбит. Применяя эту процедуру, можно исчерпать запас состояний конфигураций решетки и найти все орбиты оператора $V$. Все сказанное легко перевести на язык стандартного пространства Гильберта. Гильбертово пространство решетки $\mathcal{H}$, натянутое на все состояния конфигураций, можно разложить на множество замкнутых подпространств, которые нетривиальны и неприводимы относительно оператора $V$ и находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами. Каждое подпространство натянуто на состояния соответствующей орбиты. В частности, для каждого стандартного выражения на ленте $\gamma$ существует подпространство ${\mathcal{H}}_{\gamma }$, натянутое на $\{V^n{\mathrm{\Psi }}_{1\gamma 00\underset{―}{b}}\mid n=0,1,\dots ,N_{\gamma }-1\}$.

Пусть ${\mathcal{H}}_1,{\mathcal{H}}_2,\dots ,{\mathcal{H}}_N$ — это все $V$-инвариантные неприводимые подпространства, а $P_1,P_2,\dots ,P_N$ — проекционные операторы, выделяющие эти подпространства. Оператор $V$ можно представить в форме
$$V=\sum _{j=1}^N{V}_j{P}_j,$$

где $V_j{\mathcal{H}}_j={\mathcal{H}}_j=P_j\mathcal{H}$ и $[V_j,P_j]=0$. Нас интересуют подпространства ${\mathcal{H}}_{\gamma }$ с проекционными операторами $P_{\gamma }$ и сужения $V_{\gamma }$ оператора $V$ на ${\mathcal{H}}_{\gamma }$. Для этой цели определим другой оператор $W$ :
$$W=\sum _{\gamma }{V}_{\gamma }{P}_{\gamma }+(1-\sum _{\gamma }{P}_{\gamma }),$$

где сумма берется по всем возможным при стандартном вычислении начальным выражениям на ленте. $W$ — унитарный оператор, совпадающий с $V$ на подпространствах ${\mathcal{H}}_{\gamma }$ и действующий как единичный в других областях.

Наша цель — построить полный гамильтониан $H$, удовлетворяющий соотношению
$$W=e^{-i\mathrm{\Delta }H}.$$

Для этого полезно найти в каждом подпространстве ${\mathcal{H}}_{\gamma }$ собственные значения и собственные векторы оператора $V_{\gamma }$. (Излагаемый метод един для всех конечномерных пространств и его можно применить к любому оператору $V_j$ из разложения $V$ ).

Фиксируем $\gamma$ и рассмотрим векторы ${\mathrm{\Psi }}_0^{\gamma },{\mathrm{\Psi }}_1^{\gamma },\dots ,{\mathrm{\Psi }}_{N_{\gamma }-1}^{\gamma }$ в ${\mathcal{H}}^{\gamma }$, определяемые равенствами ${\mathrm{\Psi }}_n^{\gamma }=V^n{\mathrm{\Psi }}_{1\gamma 00\underset{―}{b}}$ для $n=0,1,\dots ,N_{\gamma }-1$. Для $n⩽J$ вектор ${\mathrm{\Psi }}_n$ представляет состояние машины Тьюринга после $n$ шагов вычисления. Очевидно, что
$$V_{\gamma }{\mathrm{\Psi }}_n^{\gamma }={\mathrm{\Psi }}_{n+1}^{\gamma },$$

с тем уточнением, что если $n=N_{\gamma }-1$, то $n+1$ следует положить равным 0.

Вышеприведенное показывает, что $V_{\gamma }$ — это оператор двустороннего сдвига в ${\mathcal{H}}_{\gamma }$. Поскольку пространство ${\mathcal{H}}_{\gamma }$ конечномерно, то спектр $V_{\gamma }$ чисто дискретен. Собственные значения и собственные векторы таких операторов известны. Собственные значения $V_{\gamma }-N_{\gamma }$-е
корни из единицы $-{\alpha }_0,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{N_{\gamma }-1}$, определяемые формулой
$${\alpha }_l=\exp (-\frac{2\pi il}{N_{\gamma }}).$$

Собственные векторы ${\mathrm{\Phi }}_0^{\gamma },{\mathrm{\Phi }}_1^{\gamma },\dots ,{\mathrm{\Phi }}_{N_{\gamma }-1}^{\gamma }$ определяются выражениями
$${\mathrm{\Phi }}_l^{\gamma }=\frac{1}{\sqrt{N_{\gamma }}}\sum _{j=0}^{N_{\gamma }-1}{\left({\alpha }_l\right)}^{-j+1}{\mathrm{\Psi }}_j^{\gamma }.$$

Ясно, что
$$V_{\gamma }{\mathrm{\Phi }}_l^{\gamma }={\alpha }_l{\mathrm{\Phi }}_l^{\gamma }.$$

Гамильтониан $H$ должен удовлетворять равенствам (37) и (38). Потребуем, чтобы его можно было представить в форме
$$H=\sum _{\gamma }{H}_{\gamma },$$

где для каждого стандартного выражения $\gamma$ на вычислительной ленте оператор $H_{\gamma }$ действует нетривиально только в пространстве ${\mathcal{H}}_{\gamma }$ и равен нулю в других областях. Кроме того, должно выполняться равенство $V_{\gamma }=\exp (-i{H}_{\gamma }\mathrm{\Delta })$. В этом случае для всех $t$ оператор $W(t)=$ $\exp (-iHt)$ удовлетворяет равенству
$$W(t)=\sum _{\gamma }{e}^{-i{H}_{\gamma }t}{P}_{\gamma }+1(1-\sum _{\gamma }{P}_{\gamma }),$$
т. к. $H_{\gamma }{H}_{{\gamma }^{\prime }}=0$ при $\gamma eq{\gamma }^{\prime }$.

Можно определить различные гамильтонианы $H_{\gamma }$, удовлетворяющие равенству $\exp (-i\mathrm{\Delta }{H}_{\gamma })=V_{\gamma }$. Вот один из таких операторов $(\hslash =1)$ :
$$H_{\gamma }=\sum _{l=0}^{N_{\gamma }-1}\frac{2\pi }{\mathrm{\Delta }}\frac{l}{N_{\gamma }}{Q}_l^{\gamma },$$

где $Q_l^{\gamma }$ — оператор проектирования на собственный вектор ${\mathrm{\Phi }}_l^{\gamma }$. Заметим, что оператор $H_{\gamma }=\sum _{l=0}^{N_{\gamma }-1}(2\pi /\mathrm{\Delta })(l/N_{\gamma }+n_l^{\gamma })Q_l^{\gamma }$, где $n_l^{\gamma }-$ произвольное целое число, также согласуется с условиями (37) и (38). Равенство (44) — простейшая из всех возможностей: $n_l^{\gamma }=0$ для всех $l$ и $\gamma$.

Пусть $V_{\gamma }(t)=\exp (-i{H}_{\gamma }t)$ — оператор сдвига во времени для гамильтониана $H_{\gamma }$, определенного равенством (44). Тогда
$$V_{\gamma }(t)=\sum _{l=0}^{N_{\gamma }-1}\exp \frac{-2\pi ilt}{N_{\gamma }\mathrm{\Delta }}{Q}_l^{\gamma }.$$

Формулы (44) и (45) задают гамильтониан $H_{\gamma }$ и оператор сдвига во времени $V_{\gamma }(t)$ в терминах собственных векторов $Q_l^{\gamma }$. Удобно выразить $V_{\gamma }(t)$ и $H_{\gamma }$ непосредственно в терминах проекционных и обменных операторов в спиновом конфигурационном пространстве. Используя равенства (40) и (41), можно представить проецционные операторы $Q_l^{\gamma }$ как
$$Q_l^{\gamma }=\frac{1}{N_{\gamma }}\sum _{j,k=0}^{N_{\gamma }-1}\exp (\frac{-2\pi il}{N_{\gamma }}(j-k)){\mathrm{\Psi }}_j^{\gamma }⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_k^{\gamma }.$$

Заметим, что
$${\mathrm{\Psi }}_j^{\gamma }⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_k^{\gamma }={\sigma }_{jk}{P}_k^{\gamma },$$

где ${\sigma }_{jk}$ — оператор перестановки конфигураций $j$ и $k$, определенный равенством (14). Конфигурации $j$ и $k$, которые соответствуют состоянию системы на $j$-м и $k$-м шагах вычисления, определены во всей решетке, изображенной на рис. $1,P_k^{\gamma }$ — оператор проектирования на состояние ${\mathrm{\Psi }}_k^{\gamma }$. С помощью равенств (46) и (47) гамильтониан можно представить так:
$$H_{\gamma }=\sum _{j,k=0}^{N_{\gamma }-1}{d}_{jk}{\sigma }_{jk}^{\gamma }{P}_k^{\gamma },$$

где коэффициенты $d_{jk}$ равны
$$d_{jk}=\sum _{l=0}^{N_{\gamma }-1}\frac{2\pi l}{\mathrm{\Delta }{N}_{\gamma }^2}\exp \frac{2\pi il(j-k)}{N_{\gamma }}.$$
Оператор сдвига во времени равен
$$V_{\gamma }(t)=\sum _{j,k=0}^{N_{\gamma }-1}{b}_{jk}(t){\sigma }_{jk}^{\gamma }{P}_k^{\gamma },$$

где коэффициенты $b_{jk}(t)$ определяются формулой
$$b_{jk}(t)=\frac{1}{N_{\gamma }}\sum _{l=0}^{N_{\gamma }-1}\exp (-\frac{2\pi il}{N_{\gamma }}(\frac{t}{\mathrm{\Delta }}+k-j)).$$

Ясно, что определенный равенствами (42) и (44) или (48) гамильтониан обладает требуемыми свойствами. Он не зависит от времени. Закон эволюции начального состояния $\mathrm{\Psi }(t)=\exp (-iHt){\mathrm{\Psi }}_{1\gamma 00b}$ таков, что вектор состояния в момент времени $t=n\mathrm{\Delta },\mathrm{\Psi }(n\mathrm{\Delta })={\overline{\mathrm{\Psi }}}_n^{\gamma }$ соответствует конфигурации системы после $n$ шагов вычисления. (Заметим, что ${\mathrm{\Psi }}_{1\gamma 00\underset{―}{b}}={\mathrm{\Psi }}_0^{\gamma }$.) Это следует из того обстоятельства, что в силу (51) числа $b_{jk}(n\mathrm{\Delta })$ равны нулю, если не выполняются соотношения $n(mod{N}_{\gamma })+k-j=0$ или $N_{\gamma }$. В двух последних случаях $b_{jk}(n\mathrm{\Delta })=1$. Для $t=N_{\gamma }\mathrm{\Delta }$ — времени завершения цикла для каждого состояния из ${\mathcal{H}}_{\gamma }$ справедливо равенство $W\left(N_{\gamma }\mathrm{\Delta }\right){\mathrm{\Psi }}_n^{\gamma }={\mathrm{\Psi }}_n^{\gamma }$ для каждого . Таким образом, если начать вычисление в момент времени $t=0$, выйдя из начального состояния ${\mathrm{\Psi }}_{1\gamma 00b}$, то в момент $N_{\gamma }\mathrm{\Delta }$ мы вернемся в начальное состояние.

Действие $W(t)$ на состояния за промежуток времени, не кратный $\mathrm{\Delta }$, определяется формулой (50). В частности, пусть $t=n\mathrm{\Delta }+\delta$, где $0⩽\delta ⩽1$. Тогда $W(t)$ (или, что эквивалентно, $V_{\gamma }(t)$ ), действуя на ${\mathrm{\Psi }}_{1\gamma 00\underset{―}{b}}$, дает
$$\mathrm{\Psi }(n\mathrm{\Delta }+\delta )=\sum _{m=0}^{N_{\gamma }-1}{b}_{m-n}(\delta ){\mathrm{\Psi }}_m^{\gamma }.$$

Здесь было использовано (см. (51)) соотношение $b_{m0}(n\mathrm{\Delta }+\delta )=b_{mn}(\delta )=$ $=b_{m-n}(\delta )$.