– уравнение состояния идеального газа:
\[
p V=v R T,
\]

где $v=m / M, M$ – молярная масса.
– Барометрическая формула:
\[
p=p_{0} \mathrm{e}^{-M_{g h} h / k T},
\]

где $\boldsymbol{p}_{0}$ – давление на высоте $\boldsymbol{h}=\mathbf{0}$.
– Уравнение состояния ван-дер-ваальсовского газа (для моля):
\[
\left(p+\frac{a}{V_{M}^{2}}\right)\left(V_{M}-b\right)=R T,
\]

где $V_{M}$ – молярный объем, занимаемый при данных $p$ и $T$.
6.1. В сосуде объемом $V=30$ п содержится идеальный газ при температуре $0{ }^{\circ} \mathrm{C}$. После того как часть газа была выпущена наружу, давление в сосуде понизилось на $\Delta p=0,78$ атм (без изменения температуры). Найти массу выпущенного газа. Плотность данного газа при нормальных условиях $\rho=1,3$ г/л.
6.2. Два одинаковых баллона соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ из одного баллона в другой при разности давлений $\Delta p \geqslant 1,10$ атм. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом – идеальный газ при температуре $\boldsymbol{t}_{1}=27^{\circ} \mathrm{C}$ и давлении $p_{1}=1,00$ атм. Затем оба баллона нагрели до температуры $t_{2}=107^{\circ} \mathrm{C}$. Найти давление газа в баллоне, где был вакуум.
6.3. Газ с молярной массой $M$ находится под давлением $p$ между двумя одинаковыми горизонтальными пластинами. Температура газа растет линейно от $T_{1}$ у нижней пластины до $T_{2}$ у верхней. Объем газа между пластинами равен $V$. Найти ero массу.
6.4. Сосуд объемом $V=20$ л содержит смесь водорода и гелия при температуре $t=20^{\circ} \mathrm{C}$ и давлении $p=2,0$ атм. Масса смеси $\boldsymbol{m}=\mathbf{5 , 0} \mathrm{r}$. Найти отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси.
6.5. В сосуде находится смесь $m_{1}=7,0 \mathrm{r}$ азота и $m_{2}=11 \mathrm{r}$ углекислого газа при температуре $T=290 \mathrm{~K}$ и давлении $p_{0}=1,0$ атм. Найти плотность этой смеси, считая газы идеальными.
6.6. В баллоне объемом $V=7,5$ л при $T=300 \mathrm{~K}$ находится смесь идеальных газов: $v_{1}=0,10$ моль кислорода, $v_{2}=0,20$ моль азота и $
u_{3}=0,30$ моль углекислого газа. Считая газы идеальными, найти:
a) давление смеси;
б) средню молярную массу $M$ данной смеси, которая входит в уравнение ее состояния $p V=(m / M) R T$, где $m$ – масса смеси.
6.7. В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится массивный поршень, по обе стороны которого – по одному молю воздуха. При $T=300 \mathrm{~K}$ отношение верхнего объема к нижнему $\eta=4,0$. При какой температуре это отношение станет $\eta^{\prime}=3,0$ ? Трение не учитывать.
6.8. Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом $V$. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем $\Delta \boldsymbol{V}$. Через сколько циклов давление в сосуде уменьшится в $\eta$ раз? Процесс считать изотермическим, газ – идеальным.
6.9. Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки $t$. Объем сосуда $V$, первоначальное давление $p_{0}$. Процесс считать изотермическим и скорость откачки не зависящей от давления и равной $C$.

Примечание. Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.
6.10. Камеру объемом $V=87$ л откачивают насосом, скорость откачки которого (см. примечание к предыдущей задаче) $C=10$ л/с. Через сколько времени давление в камере уменьшится в $\eta=1000$ раз?
6.11. В гладкой открытой с обоих концов вертикальной трубе, имеющей два разных сечения (рис. 6.1), находятся два поршня,
Рис. 6.1
соединенные нерастяжимой нитью, а между поршнями – один моль идеального газа. Площадь сечения верхнего поршня на $\Delta S=10 \mathrm{~cm}^{2}$ больше, чем нижнего. Общая масса поршней $m=5,0 \mathrm{kr}$. Давление наружного воздуха $p_{0}=1,0$ атм. На сколько кельвин надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились на $l=5,0 \mathrm{~cm}$ ?
6.12. Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из нижеследующих процессов:
а) $p=p_{0}-\alpha V^{2}$; б) $p=p_{0} \mathrm{e}^{-\beta V}$, где $p_{0}, \alpha$ и $\beta$ – положительные постоянные, $V$ – объем моля газа.
6.13. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону $T=T_{0}+\alpha V^{2}$, где $T_{0}$ и $\alpha$ – положительные постоянные, $\boldsymbol{V}$ – объем моля газа. Изобразить примерный график этого процесса в параметрах $p, V$.
6.14. Высокий цилиндрический сосуд с азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $\mathbf{g}$. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температуры $d T / d h$.
6.15. Допустим, давление $p$ и плотность $\rho$ воздуха связаны соотношением $p / \rho^{n}=$ const независимо от высоты (здесь $n$ – постоянная). Найти соответствующий градиент температуры.
6.16. Пусть на поверхности Земли воздух находится при нормальных условиях. Считая, что температура и молярная масса воздуха не зависят от высоты, найти его давление на высоте 5,0 км над поверхностью Земли и в шахте на глубине $5,0 \mathrm{~km}$.
6.17. Считая, что температура и молярная масса воздуха, а также ускорение свободного падения не зависят от высоты, найти разность высот, на которых плотности воздуха при температуре $0^{\circ} \mathrm{C}$ отличаются:
а) в е раз; б) на $\eta=1,0 \%$.
6.18. Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого $S$ и высота $h$. Температура газа $T$, его давление на нижнее основание $p_{0}$. Считая, что температура и ускорение свободного падения $g$ не зависят от высоты, найти массу газа в сосуде.
6.19. Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде в однородном поле тяжести, для которого ускорение свободного падения равно $\boldsymbol{g}$. Считая температуру газа всюду одинаковой и равной $T$, найти высоту, на которой находится центр тяжести газа.
6.20. Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Найти давление газа как функцию высоты $h$, если при $h=0$ давление $p=p_{0}$, а температура изменяется с высотой как
а) $T=T_{0}(1-a h)$; б) $T=T_{0}(1+a h)$, где $a$ – положительная постоянная.
6.21. Горизонтальный цилиндр, закрытый с одного конца, врацают с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец цилиндра. Давление воздуха снаружи $p_{0}$, температура $T$, молярная масса воздуха $M$. Найти давление воздуха как функцию расстояния $r$ от оси вращения. Молярную массу считать не зависящей от расстояния $r$.
6.22. Какому давлению необходимо подвергнуть углекислый газ при $T=300 \mathrm{~K}$, чтобы его плотность оказалась равной $p=500$ г/л? Расчет провести как для идеального газа, так и для ван-дер-ваальсовского.
6.23. Один моль азота находится в объеме $V=1,00$ л. Найти:
a) температуру азота, при которой погрешность в давлении, определяемом уравнением состояния идеального газа, составляет $\eta=10 \%$ (по сравнению с давлением ван-дер-ваальсовского газа);
б) давление газа при этой температуре.
6.24. Один моль некоторого газа находится в сосуде объемом $V=0,250$ л. При $T_{1}=300 \mathrm{~K}$ давление газа $p_{1}=90$ атм, а при $T_{2}=350 \mathrm{~K}$ давление $p_{2}=110$ атм. Найти постоянные Ван-дерВаальса для этого газа.