§ 4. Характеристический многочлен

Пусть k — коммутативное кольцо и Е — свободный модуль размерности над k. Рассмотрим кольцо многочленов и линейное отображение А: Имеем гомоморфизм

определяемый как и выше, который переводит многочлен и Е превращается в модуль над кольцом Пусть М — любая матрица размера над R (например, матрица отображения А относительно некоторого базиса в Е). Характеристическим многочленом мы называем определитель

где — единичная матрица размера Это элемент из Кроме того, если -обратимая матрица над R, то

Следовательно, характеристический многочлен у матрицы тот же самый, что и у М. Мы можем поэтому определить характеристический многочлен отображения А (и обозначить его через РА) как характеристический многочлен любой матрицы М, ассоциированной с А относительно некоторого базиса. (В случае мы по определению считаем характеристический многочлен равным 1.)

Если — гомоморфизм коммутативных колец и М — матрица размера над k, то очевидно, что

где получается из применением к коэффициентам .

Теорема 8 (Кэли — Гамильтон). .

Доказательство. Пусть — базис Е над k. Тогда

где — матрица отображения А относительно этого базиса. Пусть обозначает матрицу Очевидно, — матрица с коэффициентами в Пусть -определенная в гл. XIII матрица с коэффициентами в такая, что

Тогда

так как

Следовательно, а потому Это означает, что , что и требовалось показать.

Пусть теперь k — поле. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над k и Под собственным вектором w эндоморфизма А в понимают элемент такой, что существует элемент для которого Если , то А, определяется однозначно и называется собственным значением эндоморфизма А. Разумеется, различные собственные векторы могут иметь одинаковые собственные значения.

Теорема 9. Собственные значения эндоморфизма А — это в точности корни его характеристического многочлена.

Доказательство, Пусть X — собственное значение. Тогда элемент необратим в и, значит, Следовательно, X — корень . Рассуждение обратимо, тем самым доказано и обратное утверждение.

Для упрощения обозначений мы часто будем писать вместо .

Теорема 10. Ненулевые собственные векторы отображения А, имеющие различные собственные значения, линейно независимы.

Доказательство. Предположим, что

где причем это самое короткое соотношение, в котором не все (в предположении, что такое существует). Тогда для всех i. Пусть — собственные значения наших векторов. Применим к предыдущему соотношению Получим соотношение

которое короче исходного соотношения, — противоречие.

Следствие. Если А имеет различных собственных значений принадлежащих собственным векторам то есть базис для Е. Матрицей эндоморфизма А относительно этого базиса служит диагональная матрица

Предостережение. Не всегда верно, что существует базис Е, состоящий из собственных векторов!

Замечание. Пусть k — подполе в k. Если М — матрица над k, то мы можем определить ее характеристический многочлен как относительно k, так и относительно k. Очевидно, что полученные таким путем характеристические многочлены равны. Пусть Е — векторное пространство над k. Позже мы увидим, как расширить его до векторного пространства над Всякое линейное отображение А продолжается до линейного отображения расширенного пространства, причем характеристический многочлен линейного отображения не изменяется. Действительно, если мы выберем базис Е над k, то естественным образом. Таким образом, выбор базиса позволяет нам расширить векторное пространство, но создается впечатление, что результат зависит от выбора базиса. Инвариантное определение будет дано ниже.

Пусть представление Е в виде прямой суммы векторных пространств над k. Пусть , причем для . Тогда А индуцирует на линейное отображение Мы можем выбрать базис для Е, состоящий из базисов для и тогда матрица для А будет состоять из блоков. Мы видим, таким образом, что

Итак, характеристический многочлен мультипликативен на прямых суммах.

Наше предыдущее условие можно также сформулировать, сказав, что Е представимо как -прямая сумма -подмодулей или как - прямая сумма - подмодулей. Применим это к разложению пространства Е, даваемому теоремой 6.

Теорема 11. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над полем — инварианты пары . Тогда

Доказательство. Предположим, что и что А представляется матрицей М. Мы видели, что ни инварианты, ни характеристический многочлен не изменяются, когда мы расширяем поле k до большего поля. Следовательно, мы можем считать, что поле k алгебраически замкнуто. Ввиду теоремы 6 мы можем предполагать, что М имеет единственный инвариант q. Запишем

где различны. Рассмотрим M как линейное отображение и разложим наше векторное пространство в прямую сумму подмодулей (над ) с инвариантами

соответственно (это есть разложение на слагаемые, соответствующие степеням простых элементов). Для каждого из этих подмодулей мы можем выбрать базис так, чтобы матрица индуцированного линейного отображения имела форму, описанную в теореме 7, после чего непосредственно видно, что характеристический многочлен отображения, имеющего инвариант равен в точности Теорема доказана.

Следствие. Минимальный многочлен отображения А и его характеристический многочлен имеют одни и те же неприводимые множители.

Доказательство. Это вытекает из того, что в силу теоремы есть минимальный многочлен.

Обобщим наше замечание, касающееся мультипликативности характеристического многочлена на прямых суммах.

Теорема 12. Пусть k — коммутативное кольцо, и пусть в следующей диаграмме:

строки являются точными последовательностями свободных модулей над k, имеющих конечную размерность. Пусть, далее, вертикальные отображения являются -линейными отображениями, для которых диаграмма коммутативна. Тогда

Доказательство. Мы можем предполагать, что Е — подмодуль в Е. Выберем базис для Е. Пусть базис для и — элементы из Е, отображающиеся на соответственно. Тогда будет базисом для Е (доказательство такое же, как в теореме 3 из гл III, § S), и мы находимся в ситуации, описанной в § 1. Матрица для А имеет форму

где М — матрица для - матрица для Взяв характеристический многочлен относительно этой матрицы, мы, очевидно, и получим наше мультипликативное свойство.

Теорема 13 Пусть k — коммутативное кольцо, Е — свободный модуль размерности над Пусть

Тогда

Доказательство Что касается определителя, то заметим, что Подстановка в определение характеристического многочлена через определитель доказывает, что

Перейдем к следу. Пусть М — матрица, представляющая А относительно некоторого базиса, Рассмотрим определитель . В его разложении по первому столбцу содержится диагональный член

который вносит в коэффициент при вклад, равный

Никакой другой член в этом разложении ничего не добавляет к коэффициенту при так как степень t, встречающаяся в других членах, не превосходит Это доказывает наше утверждение, касающееся следа.

Следствие. Пусть обозначения те же, что а в теореме 12. Тогда

Доказательство. Очевидно.

Дадим теперь нашим результатам интерпретацию в терминах группы Эйлера — Гротендика.

Пусть k — коммутативное кольцо. Рассмотрим категорию, объектами которой являются пары , где - -модуль и . Определим морфизм

как -линейное отображение , для которого коммутативна следующая диаграмма:

Мы можем определить ядро такого морфизма снова как пару. Действительно, пусть — ядро . Тогда А отображает в себя, так как Пусть — ограничение А на . Пара по определению является ядром нашего морфизма.

Будем обозначать по-прежнему через морфизм пары . Мы можем говорить о точной последовательности

понимая под этим, что точна индуцированная последовательность

Мы будем также писать вместо в соответствии с нашим общим соглашением использовать символ 0 для всех тех вещей, которые ведут себя подобно нулевому элементу.

Заметим, что наши пары ведут себя теперь формально как модули и что они фактически образуют абелеву категорию.

Пусть k — поле, и пусть состоит из всех пар , где Е имеет конечную размерность над k. Тогда теорема 12 утверждает, что характеристический многочлен является отображением Эйлера — Пуанкаре, определенным для всякого объекта из нашей категории А, со значениями в мультипликативном моноиде многочленов со старшим коэффициентом 1. Так как значения этого отображения лежат в моноиде, то здесь используется несколько более общее понятие, чем введенное в гл. IV, где мы брали значения в группе. Разумеется, когда k есть поле, что наиболее часто встречается в приложениях, мы можем считать, что значения нашего отображения лежат в мультипликативной группе отличных от нуля рациональных функций, так что применимы наши предыдущие рассмотрения.

Аналогичное замечание справедливо также для следа и определителя. Если k — поле, то след есть отображение Эйлера в аддитивную группу поля, а определитель — отображение Эйлера в мультипликативную группу

Отметим также, что все эти отображения (подобно всем отображениям Эйлера) определены на классах пар относительно изоморфизма и что они определены на группе Эйлера — Гротендика.

Теорема 14. Пусть k — целостное кольцо, М — матрица размера над k и — многочлен из Предположим, что имеет разложение

на линейные множители над k. Тогда характеристический многочлен матрицы задается формулой

и

Доказательство. Допустим сначала, что k — поле. Тогда, используя каноническое разложение на блоки, описанное в теореме 7 § 3, мы обнаруживаем, что наше утверждение совершенно очевидно. В случае когда k — кольцо, используем стандартный прием с подстановкой. Для этого, однако, необходимо знать, что если — матрица с алгебраически независимыми элементами над то имеет различных корней [в алгебраическом замыкании поля и что существует гомоморфизм

отображающий X на на . Но это очевидно для читателя, который прочитал главу о целых расширениях колец, а читатель, который этого не сделал, может забыть об этой части теоремы.