6.2.2. Модели замкнутой ФАП

ФАП в своей основе состоит из умножителя, петлевого фильтра и генератора, управляемого напряжением (ГУН), как показано на рис. 6.2.3. Если предположить, что входом цепи ФАП является косинусоида , а выходом ГУН является , где  представляет оценку , то произведение этих двух сигналов

    (6.2.13)

Рис. 6.2.3. Базовые элементы замкнутой петли автоподстройки фазы (ФАП)

Петлевой фильтр является низкочастотным фильтром, который пропускает только низкочастотную составляющую  и устраняет компоненту с удвоенной частотой несущей . Этот фильтр обычно выбирается так, чтобы иметь относительно простую передаточную функцию

                                                                  (6.2.14)

где  и  - расчётные параметры , которые управляют полосой петли. Фильтр более высокого порядка, содержащий дополнительные полюсы, можно использовать, если необходимо получить лучшую характеристику петли.

Выход петлевого фильтра обеспечивает управляющее напряжение  для ГУН. ГУН является в принципе генератором гармонического сигнала с мгновенной фазой, определяемой так:

                    (6.2.15)

где  - постоянная величина с размерностью радиан/вольт. Следовательно,

                                                       (6.2.16)

Пренебрегая слагаемым с удвоенной частотой, которая получается от умножения входного сигнала с выходом ГУН, можем свести схему ФАП к эквивалентной замкнутой петлевой модели, показанной на рис. 6.2.4. Синусоидальная зависимость от разности фазы  делает эту систему нелинейной и, как следствие, затрудняет анализ её качества в присутствии шума. Но всё же она поддается математическому анализу для некоторых простых петлевых фильтров.

Рис.6.2.4. Модель замкнутой петли ФАП

При нормальной работе, когда петля отслеживает фазу пришедшей несущей, фазовая ошибка  мала, и, следовательно,

                                                            (6.2.17)

С этой аппроксимацией схема с ФАП на рис. 6.2.4 получается линейной и характеризуется передаточной функцией для замкнутой петли

                                                   (6.2.18)

где множитель  включён в параметр усиления . Подставив из (6.2.14)  в (6.2.18), получим

                   (6.2.19)

Следовательно, замкнутая петлевая система для линеаризованной ФАП является системой второго порядка, если  определяется (6.2.14). Параметр  управляет положением нуля, в то время как  и  используются для управления положением полюсов замкнутой системы. Принято выразить знаменатель  в стандартной форме

                                              (6.2.20)

где  называют петлевым множителем затухания, а  является резонансной частотой петли. Через параметры петли  и  передаточная функция замкнутой петли выражается следующим образом:

                              (6.2.21)

Односторонняя эквивалентная шумовая полоса петли равна

               (6.2.22)

Амплитудно-частотные характеристики  как функции нормированной частоты  иллюстрируются рис. 6.2.5 с множителем затухания , как параметром и при . Заметим, что  ведет к критическому затуханию характеристики петли, а  ведет к поддемпинговой характеристике, а  ведет к наддемпинговой характеристике.

Рис. 6.2.5. Амплитудно-частотные характеристики петли второго порядка

На практике выбор полосы для ФАП включает компромисс между скоростью отслеживания и остаточным шумом в оценке фазы, что является темой, рассматриваемой ниже. С одной стороны, желательно выбрать полосу петли достаточно широкой, чтобы отслеживать любые изменения во времени фазы принимаемой несущей. С другой стороны, широкополосная ФАП позволяет шуму в большей степени попасть в петлю, что ухудшает оценку фазы. Ниже мы оценим влияние шума на качество оценки фазы.