4.1.1. Представление полосовых сигналов
Предположим, что вещественный сигнал 
имеет частоты,
концентрированные в узкой полосе частот вблизи частоты 
, как показано на рис. 4.1.1.
Наша цель – дать математическое представление таких
сигналов. Сначала мы сконструируем сигнал, который содержит только
положительные частоты из 
. Такой сигнал можно выразить как
, (4.1.1)
где 
- преобразование Фурье 
от , а 
- единичная
ступенчатая функция. Эквивалентное представление (4.1.1) во временной области
. (4.1.2)
Рис. 4.1.1. Спектр полосового сигнала
Сигнал
называется аналитическим
сигналом для
. Заметим,
то 
и
. (4.1.3)
Следовательно,
. (4.1.4)
Определим
. (4.1.5)
Сигнал 
можно
рассматривать как выход фильтра с импульсной характеристикой
,
, (4.1.6)
при
подаче на вход сигнала . Такой фильтр называют
преобразователем Гильберта. Частотная характеристика такого фильтра очень
проста:
(4.1.7)
Заметим,
что 
при 
и что фазовая
характеристика
Следовательно,
этот фильтр по существу – фазовращатель на 90° для всех частот входного
сигнала.
Аналитический
сигнал является
полосовым сигналом. Мы можем получить эквивалентное низкочастотное
представление, выполнив частотное преобразование .
Определим
так:
. (4.1.8)
Эквивалентное
соотношение во временной области
, (4.1.9)
или,
что эквивалентно,
. (4.1.10)
В
общем случае сигнал комплексный (см. задачу 4.5), и его
можно выразить так:
. (4.1.11)
Если мы подставим 
в (4.1.10) и
приравняем вещественные и мнимые части с каждой стороны, получим соотношения
, (4.1.12)
. (4.1.13)
Выражение
(4.1.12) – желательная форма представления полосового сигнала. Низкочастотные
сигнальные компоненты 
и 
можно рассматривать как сигналы,
модулирующие по амплитуде соответственно несущие 
и 
. Поскольку эти несущие находятся в
квадратуре (сдвинуты по фазе на 90°), и называют квадратурными
компонентами полосового сигнала .
Другое
представление для сигнала (4.1.12) такое:
, (4.1.14)
где 
означает
вещественную часть комплексной величины. Низкочастотный сигнал обычно называют
комплексной огибающей вещественного сигнала . Она является по существу
эквивалентным низкочастотным сигналом. Наконец, третья возможная форма
представления полосового сигнала получается, если представить
, (4.1.15)
где
, (4.1.16)
. (4.1.17)
Тогда
. (4.1.18)
Сигнал
называют
(вещественной) огибающей , a , а 
называют фазой . Таким образом,
(4.1.12), (4.1.14) и (4.1.18) являются эквивалентными представлениями полосовых
сигналов. Преобразование Фурье 
. (4.1.19)
Если
использовать равенство
(4.1.20)
в
(4.1.19), то следует
,
(4.1.21)
где 
- преобразование
Фурье от .
Это базовое соотношение между спектром действительного полосового сигнала и спектром
эквивалентного низкочастотного сигнала .
Энергия
вещественного сигнала определяется так:
. (4.1.22)
Если
равенство (4.1.20) использовать в (4.1.22), то следует результат
. (4.1.23)
Рассмотрим второй интеграл в (4.1.23). Поскольку
сигнал узкополосный,
то вещественная огибающая 
или, что эквивалентно, 
меняется медленно
по сравнению с быстрыми изменениями функции косинуса. Графическая иллюстрация
подынтегрального выражения во втором интеграле (4.1.21) дана на рис. 4.1.2.
Величина этого интеграла равна площади под косинусной функцией,
промодулированной сигналом 
.
Рис. 4.1.2. Сигнал 
Поскольку модулирующий сигнал меняется медленно по
сравнению с косинусной функцией, площадь, определяемая вторым интегралом, очень
мала по сравнению с величиной первого интеграла в 4.1.23, и, следовательно,
вторым интегралом можно пренебречь. Таким образом, для всех практических приложений
энергия полосового сигнала , выраженная
через эквивалентный низкочастотный сигнал , равна
, (4.1.24)
где 
является огибающей для сигнала .
