4.4.3. Спектр мощности для модулированных сигналов с памятью

В двух последних разделах мы определили спектральные характеристики для класса линейно модулированных сигналов без памяти и для класса модулированных по фазе сигналов, таких как ЧМНФ и МНФ, которые нелинейны и обладают памятью. В этом разделе рассмотрим спектральные характеристики линейно модулированных сигналов; которые обладают памятью и которые можно моделировать марковской цепью. Мы уже встречали такие сигналы в разд. 4.3.2, в котором описали несколько типов базовых сигналов.

Спектральную плотность мощности цифрового модулирующего сигнала, который описывается цепью Маркова, можно получить при помощи базовой процедуры, данной в предыдущих разделах. Сначала определяется автокорреляционная функция, а затем с помощью преобразования Фурье находится спектральная плотность мощности. Для сигналов, которые описываются цепью Маркова с матрицей переходных вероятностей , спектральную плотность мощности сигнала можно выразить в общем виде (см. Тичворт и Велч, 1961):

           (4.4.57)

где  - преобразование Фурье для сигнала ,

,

  - преобразование Фурье дискретной во времени последовательности , определенное выражением

                                (4.4.58)

  - номер состояния модулятора. Слагаемое  определяет вероятность того, что сигнал  передаётся в -м сигнальном интервале после передачи сигнала . Таким образом,  являются вероятностями переходов в матрице вероятностей переходов . Заметим, что .

Если метод модуляции без памяти, то переданный в каждом сигнальном интервале сигнал не зависит от сигналов, переданных в предыдущих сигнальных интервалах. Спектральная плотность мощности результирующего сигнала в этом случае можно всё ещё выразить в виде (4.4.57), если матрицу переходных вероятностей заменить на

                                                                          (4.4.59)

и навязать условие  для всех . Только при этих условиях выражение для спектральной плотности мощности оказывается функцией стационарных вероятностей состояний  и, следовательно, ведёт к простейшей форме

                 (4.4.60)

Видно, что наш предыдущий результат для спектральной плотности мощности линейной модуляции без памяти, определяемый (4.4.18), можно рассматривать как частный случай (4.4.60), в котором все сигналы идентичны, за исключением ряда скалярных множителей, которые передают цифровую информацию (задача 4.30).

Мы также видим, что первое слагаемое в выражении для спектральной плотности мощности (4.4.57) или (4.4.60) состоит из дискретных частотных компонент. Этот линейчатый спектр исчезает, когда

                                                                                                   (4.4.61)

Условие (4.4.61) обычно навязывается для практических систем связи и легко удовлетворяется подходящим выбором форм сигнала (задача 4.31).

Теперь определим спектральную плотность мощности базовых модулирующих сигналов, описанных в разд. 4.3.2. Сначала рассмотрим NRZ-сигнал, который характеризуется двумя сигналами  и , где  - прямоугольный импульс амплитуды . Для  (4.4.60) даёт

            (4.4.62)

где

                                                         (4.4.63)

Заметим, что, когда  линейчатый спектр исчезает и  определяется так:

                                                                                            (4.4.64)

NRZI-сигнал характеризуется матрицей переходных вероятностей

                                                                                                               (4.4.65)

Заметим, что в этом случае  для всех . Следовательно, частная форма спектра плотности мощности, даваемая (4.4.62), хорошо подходит к модуляции по этому формату. Следовательно, спектральная плотность мощности NRZI-сигнала идентична спектру NRZ-сигнала.

Модуляция с задержкой имеет матрицу переходных вероятностей

                                                                                           (4.4.66)

и стационарные вероятности состояний  для  Степени  можно получить путём использования соотношения

,                                                                                                               (4.4.67)

где  - матрица корреляции сигнала с элементами

                                                                               (4.4.68)

а четыре сигнала  показаны на рис. 4.3.15. Легко видеть, что

                                                                            (4.4.69)

Следовательно, степени  можно получить из соотношения

                                                                       (4.4.70)

Используя (4.4.66), (4.4.69) и (4.4.70), в (4.4.57) можно найти спектральную плотность мощности при модуляции с задержкой. Её можно выразить в форме

                         (4.4.71)

где

Спектр этих базовых модулирующих сигналов показан на рис. 4.4.11.

Видно, что спектр сигналов NRZ и NRZI имеет максимум при . Модуляция с задержкой имеет более узкий спектр и относительно меньший уровень для нулевых частот. Занимаемая ею полоса частот существенно уже, чем у сигнала NRZ. Эти две характеристики делают модуляцию с задержкой привлекательным выбором для каналов, которые не пропускают постоянную составляющую, таких, как средства магнитной записи.

Нормированная частота

Рис. 4.4.11. Односторонняя спектральная плотность мощности для базовых сигналов кода Миллера (модуляция с задержкой) и NRZ/NRZI [Hecht и Guida (1969); © 1969 IEEE]