2.2.3. Отклик линейной стационарной системы на случайный входной сигнал

Рассмотрим линейную стационарную систему (фильтр), которая характеризуется своей импульсной характеристикой  или, что эквивалентно, своей частотной характеристикой , где и  связаны парой преобразования Фурье. Пусть  означает входной, а  - выходной сигналы системы. Выход системы можно выразить интегралом свертки

.                              (2.2.24)

Теперь предположим, что  является реализацией стационарного случайного процесса . Тогда выход  является реализацией случайного процесса . Мы хотим определить математическое ожидание и функцию корреляции выхода.

Поскольку свертка – это линейная операция над входным сигналом, математической ожидание интеграла равно интегралу от математического ожидания подынтегральной функции. Таким образом, математическое ожидание

,             (2.2.25)

где  – коэффициент передачи (передаточная функция) линейной системы при . Следовательно, среднее значение выходного процесса постоянно.

Функция корреляции выхода

Последнее выражение показывает, что двойной интеграл является функцией разности отсчетов времени . Другими словами, если входной процесс стационарный, выходной процесс также стационарен. Следовательно,

.                 (2.2.26)

Взяв преобразование Фурье от обеих частей (2.2.26), получим спектральную плотность мощности выходного процесса в виде

(2.2.27)

Таким образом, мы имеем важный результат, заключающийся в том, что спектральная плотность мощности выходного сигнала равна произведению спектральной плотности мощности входного сигнала и квадрата модуля частотной характеристики системы.

При расчёте автокорреляционной функции  обычно легче определить спектральную плотность мощности  и затем вычислить обратное преобразование Фурье. Таким образом, имеем

.         (2.2.28)

Видим, что средняя мощность выходного сигнала

.                                           (2.2.29)

Так как , то

.

Допустим, что  для некоторого малого интервала  и  вне этого интервала. Тогда

.

Но это возможно тогда и только тогда, когда  для всех .

Пример 2.2.1. Предположим, что фильтр нижних частот (ФНЧ), показанный на рис. 2.2.1, находится под воздействием случайного процесса  со спектральной плотностью мощности

 для всех .

Случайный процесс с одинаковой спектральной плотностью на всех частотах называется белым шумом. Определим спектральную плотность мощности выходного процесса. Передаточная функция ФНЧ

,

и, следовательно,

.                                               (2.2.30)

Рис. 2.2.1. Пример низкочастотного фильтра

Спектральная плотность мощности процесса на выходе

.                                                    (2.2.31)

Эту спектральную плотность иллюстрирует рис. 2.2.2.

Обратное преобразование Фурье определяет функцию автокорреляции

.                     (2.2.32)

Автокорреляционная функция  показана на рис. 2.2.3. Заметим, что второй момент процесса  равен .

В качестве заключительного упражнения определим взаимную корреляционную функцию между  и , где  - сигнал на входе, а  - сигнал на выходе линейной системы. Имеем

.

Следовательно, случайные процессы  и  совместно стационарны. Обозначив , имеем

.                                                            (2.2.33)

Рис. 2.2.2. Спектральная плотность мощности на выходе ФНЧ, когда на вход поступает белый шум

Рис. 2.2.3. Функция автокорреляции сигнала на выходе ФНЧ, когда на вход поступает белый шум

Заметим, что интеграл (2.2.33) - это интеграл свёртки. Следовательно, в частоты области из (2.2.33) следует соотношение

.                                           (2.2.34)

Видно, что если на входе системы действует белый шум, то функция взаимной корреляции входа и выхода системы с точностью до масштабирующего коэффициента равна импульсному отклику .