13.2.4. Генерирование ПШ последовательностей

Генерирование ПШ последовательностей для применения широкополосных сигналов является темой, которая привлекла особое внимание в технической литературе. Мы вкратце обсудим конструкцию некоторых ПШ последовательностей и представим важные свойства автокорреляционной и взаимокорреляционной функций таких последовательностей. Для исчерпывающей трактовки этого вопроса интересующемуся читателю рекомендуется книга Голомба (1967).

Пожалуй, наиболее широко известными двоичными ПШ последовательностями являются последовательности максимальной длины сдвигового регистра, введенные в разделы 8.1.3 в контексте кодирования, и которые снова предлагались для использования как низкоскоростные коды. Последовательность максимальной длины сдвигового регистра, или -последовательность для краткости, имеет длину  символов и генерируется  ячеечным регистром сдвига с линейной обратной связью, как иллюстрирует рис.13.2.14. Последовательность периодическая с периодом . Каждый период последовательности содержит  единиц   нулей.

пользователей, был бы равен нулю. Однако ПШ последовательности, используемые различными пользователями, на практике не обладают строгой ортогональностью.

Для конкретности, рассмотрим класс -последовательностей. Известно (Сарвейт и Пурслей, 1980), что периодическая взаимокорреляционная функция между парой  последовательностей на том, же периоде может иметь относительно большие пики. Таблица 13.2.1 дает пиковые амплитуды  для периодической функции взаимной корреляции между парами -последовательностей для . Таблица также показывает число  последовательностей длины  для . Как мы можем видеть, число  последовательностей длины  быстро растет с . Мы также видим, что для большинства последовательностей пиковые амплитуды  взаимокорреляционной функции составляют большой процент от пикового значения автокорреляционной функции.

Таблица 13.2.1. Пиковые значения взаимной корреляции m-последовательностей и последовательностей Голда

Такие большие значения для взаимных корреляций нежелательны в CDMA. Хотя возможно выбрать малое подмножество  последовательностей, которые имеют относительно малые значения пиков взаимной корреляции, число последовательностей в этом подмножестве слишком мало для применений CDMA.

ПШ последовательности с лучшими свойствами периодической функции взаимной корреляции, чем  последовательности, даны Голдом (1967, 1968) и Касами (1966). Они образуются из  последовательностей, как описано ниже.

Голд и Касами доказали, что некоторые пары  последовательностей длины  имеют взаимно корреляционную функцию с тремя уровнями , где

              (13.2.73)

Для примера, если , тогда  и три возможные значения периодической взаимокорреляционной функции равны {-7,-65,63}. Таким образом, максимальное значения (по модулю) взаимной корреляции пары -последовательностей равно 65, в то время как пик для семейства 60 возможных последовательностей, 40-56 генерируемых 10-разрядным регистром сдвига с различными соединениями обратной связи равен  - примерно шестикратная разница в пиковых значениях. Две -последовательности длины  с периодической взаимокорреляционной функцией, которая принимает значения  называют предпочтительными последовательностями.

Из пары предпочтительных последовательностей, скажем,  и , мы конструируем ансамбль последовательностей длины  и, взяв сумму по  последовательности  и  циклически сдвинутых версий  или наоборот. Таким образом, мы получаем  новых периодических последовательностей с периодом  Мы можем также включить в ансамбль исходные последовательности  и  и, таким образом, имеем  последовательностей.  последовательностей, сконструированных таким образом, называют последовательностями Голда.

Пример 13.2.4. Рассмотрим генерацию последовательностей Голда длины . Как указано выше, для  пик взаимной корреляции равен

.

Две предпочтительные последовательности, которые найдены Питерсоном и Уэлдоном (1972), описываются полиномами

,

.

Регистры сдвига для генерирования двух -последовательностей и соответствующих последовательностей Голда показаны на рис.13.2.15. В этом случае имеется 33 различных последовательностей, соответствующие 33 различным взаимным сдвигам двух -последовательностей. Из них 31 последовательность не является последовательностями максимальной длины.

Рис. 13.2.15. Генерирование последовательности Голда длиной 31

Исключая последовательности  и , ансамбль последовательностей Голда не включает в себя последовательности максимальной длины  регистра сдвига. Следовательно, их автокорреляционные функции не являются двоичными. Голд (1968) показал, что взаимокорреляционная функция любой пары последовательностей ансамбля  последовательностей Голда является троичной с возможными значениями

,

где  определяется (13.2.73). Аналогично, пиковые значения автокорреляционной функции для последовательностей Голда принимают значения из множества . Таким образом, пиковые значения автокорреляционной функции ограничена сверху .

Величины пиков автокорреляционной функции и пиков взаимокорреляционной функции, т.е. , для последовательностей Голда даны в табл. 13.2.7. Также даны значения, нормированные к .

Интересно сравнить пиковые значения взаимной корреляции последовательностей Голда с известной нижней границей взаимной корреляции между произвольной парой двоичных последовательностей периода  в ансамбле из  последовательностей. Нижняя граница, найденная Уолшем (1974), для  равна

        (13.2.74)

которая хорошо аппроксимируется, для больших  и , как . Для последовательностей Голда  и, следовательно, нижняя граница . Эта граница ниже на  для нечётных  и на 2 для чётных т относительно  для последовательностей Голда.

Процедура, похожая на использованную при генерировании последовательностей Голда, может генерировать более узкий ансамбль из  двоичных последовательностей периода , когда  четно. В этой процедуре мы начинаем с  последовательности  и формируем двоичную последовательность , взяв каждый  символ из . Таким образом, последовательность  формируется путём децимации  через . Можно показать, что полученная последовательность  периодическая с периодом . Для примера, если , то период а равен , а период  равен 31. Следовательно, если мы наблюдаем 1023 символа последовательности  мы можем видеть 33 повторений 31 символьных последовательностей. Теперь, взяв  символа из последовательностей  и , мы формируем новый ансамбль последовательностей путем суммирования по  символов из  и символов из  и всех  циклических сдвигов символов из . Включая  в ансамбль, мы получаем ансамбль из  двоичных последовательностей длины . Их называют последовательностями Касами. Автокорреляционная и взаимокорреляционная функции этих последовательностей принимает значения из ряда. Следовательно, значение максимума взаимной корреляции для любой пары последовательностей этого ансамбля равно

,          (13.2.75)

Эта величина  удовлетворяет нижней границе Уолша для ансамбля из  последовательностей длины . Таким образом, последовательности Касами оптимальны.

Кроме хорошо известных последовательностей Голда и Касами, имеются другие двоичные последовательности, подходящие для применения в CDMA. Интересующемуся читателю рекомендуем работы Шольца (1979), Опсена (1972) и Сарвейта и Пурслея (1980).

В заключение хотим отметить, что хотя мы обсудили периодические взаимокорреляционные функции между парами периодических последовательностей много практических систем CDMA могут использовать длительности информационных символов, которые составляют только части периодических последовательностей. В таких случаях важным является частично-периодическая взаимная корреляция между двумя последовательностями. Определенное число статей обсуждает эти проблемы, включая статьи Линдхольма (1968), Вайнберга и Вольфа (1970), Фридриксона (1975), Бекира и др. (1978) и Пурслея (1979).