ПРИЛОЖЕНИЕ B. ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ ДЛЯ МНОГОКАНАЛЬНЫХ ДВОИЧНЫХ СИГНАЛОВ
В многоканальных системах связи,
которые используют двоичные сигналы для передачи информации по каналу с АБГШ, величины
для решения у детектора можно выразить как частный случай общей квадратичной
формы
(B.1)
через комплексные гауссовские
случайные переменные, 
и 
являются константами; 
и 
- пара коррелированных гауссовских
случайных величин, Для рассматриваемых каналов 
пар 
- статистически взаимно независимы и
одинаково распределены.
Вероятность ошибки определяется вероятностью
того, что 
. Эта вероятность вычисляется ниже.
Вычисления начинаются с
характеристической функции, обозначаемое 
, общей квадратичной формы.
Вероятность того, что , обозначаемое здесь как
вероятность ошибки 
, равна
, (В.2)
где 
- ФПВ для D связанна с преобразованием Фурье, то есть
.
Следовательно,
. (В.З)
Переменим порядок интегрирования и
сначала выполним интегрирование по D. В результате получаем
(B.4)
где малое положительное число 
введено для того, что сдвинуть путь
интегрирования от точки сингулярности 
. Оно должно быть положительным для того, чтобы было возможным
менять порядок и интегрирования.
Поскольку 
является суммой статистически независимых
случайных переменных характеристическая функция определяется произведением характеристических функций,
причем каждая функция соответствует индивидуальным случайным переменным 
, где
.
Характеристическая функция равна
(B.5)
где параметры 
зависят от средних 
и 
и вторых
(центральных) моментов 
комплексных гауссовских величин и через следующее
определение 
;
(B.6)
; 
.
Теперь, как результат независимости
случайных величин , характеристическая функция равна
; 
, (B.7)
где
(В.8)
Результат (В.7) подставляется для в (В.4) и мы
получаем
(B.9)
Этот интеграл вычисляется следующим
образом.
Первый шаг сводится к выражению
экспоненциальной функции в виде
,
причём можно легко проверить, что
константы 
и
определяются
так:
. (B.10)
На втором шаге выполняется конформное
преобразование из 
-плоскости в 
-плоскость посредством преобразования
переменной
(B.11)
В -плоскости интеграл (В.9) приводится к
выражению
(B.12)
где
(B.13)
а 
- круговой контур радиуса меньше
единицы включает начало координат.
Третий шаг сводится к вычислению
интеграла
(B.14)
Для того, что облегчить последующие
выкладки, вводятся константы 
(В.
15)
Выразим также функцию 
как биномиальный
ряд. В результате получаем
(B.16)
Контурный интеграл в (В.16) является
одним из представлений функции Бесселя. Его можно разрешить, используя
соотношение
где 
- модифицированная функции Бесселя 
-го порядка первого рода.
Представление 
-функции
Маркума в ряд функций Бесселя имеет вид
Рассмотрим сначала случай 
в (В.16). В этом
случае результирующий контурный интеграл можно записать в форме
(B.17)
Далее, рассмотрим слагаемое 
. Результирующий контурный интеграл может быть выражен через -функцию так:
(В.18)
Наконец, рассмотрим случай 
. Имеем
(B.19)
Собирая слагаемые, указанные в первой
части (В.16), к используя результаты, даваемые (В.17)-(В.19), получаем после
некоторых преобразований следующее выражение для контурного интеграла
(В.20)
Уравнение (В.20) в соединении с (В.
12) даёт результат для вероятности ошибки. Следует дальнейшее упрощение, если
использовать следующее тождество, которое можно легко доказать
.
Таким образом, следует, что
Это и есть искомое выражение для
вероятности ошибки. Теперь несложно связать параметры 
и 
с моментами пары 
. Подставив
выражения для 
и из (В.10) в (В.15), получаем
(B.22)
Поскольку 
определяются (В.6) и (B.8) непосредственно через моменты пар
и наша задача
завершена.
