15.2. ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ МЕТОДОВ МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА
Интересно сравнить FDMA, TDMA и CDMA по
информационной скорости, которую каждый из методов множественного доступа
достигает в идеальном канале с полосой частот 
и АБГШ. Сравним пропускную
способность 
пользователей,
где каждый пользователь имеет среднюю мощность 
для всех 
. Напомним, что в идеальном
частотно-ограниченном канале с полосой и АБГШ пропускная способность одного
пользователя равна
,
(15.2.1)
где 
- спектральная плотность аддитивного
шума. В FDMA каждый
пользователь локализован в полосе 
. Следовательно, пропускная
способность каждого пользователя равна
,
(15.2.2)
а суммарная пропускная способность для пользователей
равна
.
(15.2.3)
Следовательно, суммарная пропускная
способность эквивалентна пропускной способности одного пользователя со средней
мощностью 
.
Интересно отметить, что при
фиксированной полосе суммарная пропускная способность
становится неограниченной, если число пользователей линейно возрастает с . С другой стороны,
когда возрастает,
каждый пользователь занимает меньшую полосу 
и, как следствие, пропускная
способность на пользователя уменьшается. Рис. 15.2.1 иллюстрирует пропускную
способность 
на
пользователя, нормированную полосой канала , как функцию от 
с параметром 
. Это выражение
определяется так
. (15.2.4)
Рис. 15.2.1. Нормированная
пропускная способность как функции от для FDMA.
Более компактная форма (15.2.4)
получается путем определения нормированной суммарной пропускной способности 
, которая
определяет суммарную битовую скорость всех пользователей на единицу полосы
частот. Таким образом, (15.2.4) можно выразить так
,
(15.2.5)
или, эквивалентно
(15.2.6)
Зависимость 
от показана на рис.
15.2.2. Мы видим, что растет с ростом , если оно больше
минимального значения 
.
Рис.15.2.2. Суммарная
нормированная пропускная способность как функция от для FDMA
В системе TDMA каждый
пользователь передает по каналу в полосе на интервале времени 
со средней
мощностью 
.
Следовательно, пропускная способность на пользователя равна
,
(15.2.7)
что равно пропускной способности TDMA системы. Однако
с практической точки зрения мы должны подчеркнуть, что в TDMA передатчики не
всегда могут поддерживать мощность передачи , если очень велико. Следовательно имеется
практический предел, выше которого мощность передатчика нельзя увеличить с
ростом .
В CDMA системе каждый
пользователь передает псевдослучайный сигнал с полосой и средней мощностью 
. Пропускная
способность системы зависит от уровня сотрудничества между пользователями. В
экстремальном случае имеем CDMA без сотрудничества, когда приёмник для
каждого сигнала пользователя не знает рассеянный сигнал других пользователей
или выбирается с игнорированием этого знания в процессе демодуляции. Тогда
сигналы других пользователей проявляются как интерференция на приёме у каждого
пользователя. В этом случае приёмник многих пользователей состоит из банка приёмников
отдельных пользователей. Если предположим, что псевдослучайный сигнал каждого
пользователя гауссовский, тогда сигнал каждого пользователя поражается
гауссовской интерференцией мощностью 
и аддитивным гауссовским шумом
мощности 
.
Следовательно, пропускная способность на пользователя
,
(15.2.1)
или, что эквивалентно
,
(15.2.9)
Рис. 15.2.3 иллюстрирует зависимость 
от с параметром .
Рис. 15.2.3. Нормированная
пропускная способность как функция от для несогласованной CDMA.
При большом числе пользователей мы можем
использовать аппроксимацию 
. Следовательно,
,
(15.2.10)
или, что эквивалентно,
,
(15.2.11)
В этом случае мы видим, что суммарная
пропускная способность не увеличивается с ростом , как при FDMA и TDMA. С другой
стороны, предположим, что пользователей сотрудничают
посредством синхронной передачи во времени и приёмник многих пользователей
знает рассеяние сигналов всех пользователей и совместно демодулирует и
детектирует все сигналы пользователей. Пусть каждый пользователь имеет скорость
передачи 
, и кодовый
словарь, содержащий набор из 
кодовых слов мощностью . На каждом
сигнальном интервале каждый пользователь выбирает произвольное кодовое слово,
скажем, 
,
из своего собственного кодового словаря и все пользователи передают их кодовые
слова одновременно. Таким образом, декодер на приеме наблюдает
,
(15.2.12)
где 
- вектор
аддитивного шума. Оптимальный декодер выносит решение по кодовым словам, одно по
каждому кодовому словарю, в пользу слов, которые образуют векторную сумму,
которая наиболее близка по Евклиду к принимаемому вектору 
.
Достигаемый - мерный диапазон
скоростей для пользователей
в канале с АБГШ, при условии равенства мощностей каждого пользователя, дается
следующим уравнением:
(15.2.13)
(15.2.14)
…
, (15.2.15)
Для частного
случая, когда все скорости одинаковы, неравенство (15.2.15) доминирует
относительно других 
неравенств. Отсюда следует,
что если скорости 
для сотрудничающих синхронных
пользователей выбираются так, чтобы вместиться в область пропускной
способности, определенную вышеприведенными неравенствами, тогда вероятность
ошибки для пользователей
стремится к нулю, когда длина кодового блока 
стремится к бесконечности.
Из приведенного
обсуждения мы заключаем, что сумма скоростей пользователей становится
неограниченной с ростом . Следовательно, при
сотрудничающих синхронных пользователей пропускная способность CDMA имеет форму похожую на форму FDMA
и TDMA. Заметим, что если все скорости пользователей CDMA системы выбраны одинаковыми и равными 
, тогда (15.2.15)
дает
,
(15.2.16)
что идентично
ограничению скорости для FDMA и TDMA.
В этом случае CDMA не обеспечивает большую скорость,
чем FDMA и TDMA. Однако, если
скорости пользователей
выбираются неравными так, чтобы неравенства (15.2.13)—(15.2.15) выполнялись,
тогда возможно найти такие точки в достижимой области скоростей, что сумма
скоростей пользователей
CDMA превосходит пропускную способность FDMA и TDMA.
Пример 15.2.1.
Рассмотрим случай двух пользователей в системе CDMA,
которые используют кодированные сигналы, описанные выше. Скорости двух
пользователей должны удовлетворять неравенствам
,
,
,
где - средняя
переданная мощность каждого пользователя, a - полоса частот сигнала. Определим
область пропускной способности, для системы CDMA с
двумя пользователями.
Область
пропускной способности для CDMA с двумя пользователями с
кодированными сигналами имеет форму, иллюстрированную на рис. 15.2.4, где
- это пропускные
способности, соответствующие двум пользователям с 
.
Рис.
15.2.4. Область пропускной способности гауссовского канала с CDMA
с двумя пользователями
Заметим, что
если пользователь 1 передает с пропускной способностью 
, то пользователь 2 может
передавать с максимальной скоростью
, (15.2.17)
что иллюстрируется
на рис. 15.2.4 точкой 
. Этот результат имеет интересную
интерпретацию. Мы видим, что 
соответствует случаю, когда сигнал
пользователя 1 рассматривается как эквивалентный аддитивный шум при детектировании
сигнала пользователя 2. С другой стороны, пользователь 1 может передавать с
пропускной способностью 
, поскольку приёмник знает
передаваемый сигнал пользователя 2 и, следовательно, он может ограничить его
влияние при детектировании сигнала пользователя 1.
Вследствие
симметрии аналогичная ситуация существует если пользователь 2 передает с
пропускной способностью 
. Тогда пользователь 1 может
передавать с максимальной скоростью 
, что иллюстрируется на рис. 15.2.4
точкой 
.
В этом случае мы имеем аналогичную интерпретацию, как выше с заменой ролей
пользователей 1 и 2.
Точки и соединяются прямой
линией. Легко видеть, что эта прямая линия является границей достижимой области
скоростей, поскольку любая точка линии соответствует максимальной скорости 
, которую
можно достичь простым делением во времени канала между двумя пользователями.
В следующем
разделе мы рассмотрим проблему детектирования сигнала для систем CDMA со многими пользователями и оценим качество и
вычислительную сложность нескольких структур приёмника.
