10.2.2. Критерий минимума среднеквадратичной ошибки (СКО)

При использовании критерия минимума СКО, взвешивающие коэффициенты ячеек  эквалайзера подстраиваются так, чтобы минимизировать средний квадрат ошибки

,                      (10.2.24)

где  - информационный символ, переданный на -ом сигнальном интервале, a  - оценка этого символа на выходе эквалайзера, определяемая (10.2.1). Если информационные символы  комплексные, то показатель качества при СКО критерия, обозначаемый , определяется так

.                        (10.2.25)

С другой стороны, когда информационные символы вещественные, показатель качества просто равен квадрату вещественной величины . В любом случае,  является квадратичнйй функцией коэффициентов эквалайзера . При дальнейшем обсуждении мы рассмотрим минимизацию комплексной формы, даваемой (10.2.25).

Эквалайзер неограниченной длины. Сначала определим взвешивающие коэффициенты ячеек, которые минимизируют , когда эквалайзер имеет неограниченное число ячеек. В этом случае, оценка  определяется так

                       (10.2.26)

Подстановка (10.2.26) в выражение для , определяемая (10.2.25), и расширение результата приводит к квадратичной функции от коэффициентов . Эту функцию можно легко минимизировать по  посредством решения системы (неограниченной) линейных уравнений для . Альтернативно, систему линейных уравнений можно получить путём использования принципа ортогональности при среднеквадратичном оценивании. Это значит, мы выбираем коэффициенты  такие, что ошибка  ортогональна сигнальной

последовательности  для . То есть

                         (10.2.27)

Подстановка  в (10.2.27) даёт

или, что эквивалентно,

.                      (10.2.28)

Чтобы вычислить моменты в (10.2.28), мы используем выражение для  даваемое (10.1.16). Таким образом, получим

             (10.2.29)

и

                     (10.2.30)

Теперь, если подставим (10.2.29) и (10.2.30) в (10.2.28) и возьмём -преобразование от обеих частей результирующего уравнения, мы находим

.                       (10.2.31)

Следовательно, передаточная функция эквалайзера, основанного на критерии минимума СКО, равна

.                     (10.2.32)

Если обеляющий фильтр включён в , мы получаем эквивалентный эквалайзер с передаточной функцией

.                      (10.2.33)

Видим, что единственная разница между этим выражением для  и тем, которое базируется на критерии пикового искажения - это спектральная плотность шума , которая появилась в (10.2.33), Если  очень мало по сравнению с сигналом, коэффициенты, которые минимизируют пиковые искажения  приближённо равны коэффициентам, которые минимизируют по СКО показатель качества . Это значит, что в пределе, когда , два критерия дают одинаковое решение для взвешивающих коэффициентов. Следовательно, когда , минимизация СКО ведёт к полному исключению МСИ. С другой стороны, это не так, когда . В общем, когда , оба критерия дают остаточное МСИ и аддитивный шум на выходе эквалайзера.

Меру остаточного МСИ и аддитивного шума на выходе эквалайзера можно получить расчётом минимальной величины , обозначаемую , когда передаточная функция

эквалайзера определена (10.2.32). Поскольку  и поскольку  с учётом условия ортогональности (10.2.27), следует

.                    (10.2.34)

Эта частная форма для  не очень информативна. Больше понимания зависимости качества эквалайзера от канальных характеристик можно получить, если суммы в (10.2.34) преобразовать в частотную область. Это можно выполнить, заметив, что сумма в (10.2.34) является свёрткой  и , вычисленной при нулевом сдвиге. Так, если через  обозначить свёртку этих последовательностей, то сумма в (10.2.34) просто равна . Поскольку - преобразование последовательности  равно

,                      (10.2.35)

 то слагаемое  равно

.                      (10.2.36)

Контурный интеграл в (10.2.36) можно преобразовать в эквивалентный линейный интеграл путём замены переменной . В результате этой замены получаем

.                     (10.2.37)

Наконец, подставив (10.2.37) в сумму (10.2.34), получаем желательное выражение для минимума СКО в виде

                       (10.2.38)

В отсутствие МСИ  и, следовательно,

.                       (10.2.39)

Видим, что . Далее, соотношение между выходным (нормированного по энергии сигнала) ОСШ  и  выглядит так

.                                                  

Более существенно то, что соотношение  и  также имеет силу, когда имеется остаточная МСИ в дополнении к шуму на выходе эквалайзера.

Эквалайзер ограниченной длины. Теперь вернём наше внимание к случаю, когда длительность импульсной характеристики трансверсального эквалайзера простирается на ограниченном временном интервале, т.е. эквалайзер имеет конечную память или ограниченную длину. Выход эквалайзера на -м сигнальном интервале равен

СКО эквалайзера с  ячейками, обозначаемый , равен

Минимизация  по взвешивающим коэффициентам ячеек  или, что эквивалентно, требуя, чтобы ошибка  была бы ортогональна сигнальным отсчётам , , приводит к следующей системе уравнений:

где

Удобно выразить систему линейных уравнений в матричной форме, т.е.

где  означает вектор столбец  взвешивающих значений кодовых ячеек, означает  матрицу ковариаций Эрмита с элементами ; а  мерный вектор столбец с элементами . Решение (10.2.46) можно записать в виде

Таким образом, решение для  включает в себя обращение матрицы . Оптимальные взвешивающие коэффициенты ячеек, даваемые (10.2.47), минимизируют показатель качества , что приводит к минимальной величине

где  определяет  транспонированный вектор столбец .  можно использовать в (10.2.40) для вычисления ОСШ линейного эквивалента с  коэффициентами ячеек.