11.5.1. Слепое выравнивание, основанное на критерии максимального правдоподобия

Удобно использовать эквивалентную модель канала с дискретным временем, описанную в разделе 10.1.2. Напомним, что выход этой модели канала с МСИ равен

                                         (11.5.1)

где  - коэффициенты эквивалентного канала с дискретным временем,  представляет информационную последовательность, а  последовательность отсчетов белого гауссовского шума. Для блока из  принимаемых сигнальных точек совместная ФПВ (вектора ) при условии известного вектора импульсной характеристики канала  и известного вектора данных , равен

    (11.5.2)

Совместные максимально правдоподобные оценки  и  - это такие значения этих векторов, которые максимизирует совместную ФПВ  или, что эквивалентно, это величины  и , которые минимизируют показатель экспоненты. Таким образом, максимально правдоподобное решение определяется минимумом по  и метрики

    (11.5.3)

где матрица  называется матрицей данных и определяется так

                 (11.5.4)

Мы сделаем несколько наблюдений. Прежде всего заметим, что, когда вектор данных  (или матрица данных ) известен, как в случае, когда на приеме используется обучающая последовательность, максимально правдоподобная оценка импульсной характеристики канала, полученная минимизацией (11.5.3) по , равна

                                    (11.5.5)

С другой стороны, когда импульсная характеристика канала известна, оптимальной МП детектор для последовательности данных  осуществляет поиск по решётке (или поиск по дереву), используя алгоритм Витерби для канала с МСИ.

Если не известны как  так и  минимизацию показателя качества  можно выполнить совместно по  и . Альтернативно  можно оценить по ФПВ , которую можно получить усреднением  по всем по возможным последовательностям данных

            (11.5.6)

где  - вероятность последовательности , , а  - размер символьного созвездия.

Оценка канала, основанная на усреднении последовательностей данных. Как указанно в приведенном выше обсуждении, когда  и  не известны один из подходов сводится к оценке импульсной характеристики  после усреднения ФПВ  по всем последовательностям данных. Таким образом, имеем

   (11.5.7)

Затем, оценка , которая максимизирует  определяется уравнения

   (11.5.8)

Следовательно, оценку  можно выразить так:

   (11.5.9)

где функция  определяется так

              (11.5.10)

Результирующее решение для оптимального  обозначим .

Уравнение (11.5.9) является нелинейным уравнением для оценки импульсной характеристики канала при заданном векторе принимаемого сигнала . В общем, трудно получить оптимальное решение непосредственным решением (11.5.9). С другой стороны относительно легко разработать численный метод для рекуррентного решения . В частности, можем написать

  (11.5.11)

Когда  получено из решения (11.5.9) или (11.5.11),, мы можем просто использовать эту оценку при минимизации метрики , определённой (11.5.3), по всем возможным последователям данных. Поскольку  - это последовательность, которая минимизирует  по .

Обсуждаемый алгоритм имеет два главных недостатка. Первый – это то, что рекуррентная обработка (11.5.11) для нахождения   в вычислительном отношении сложна. Второй и, вероятно, более важный, - оценка  не так хороша по сравнению с максимально правдоподобной оценкой , которая получается, когда последовательность  известна. Следовательно, качество слепого эквалайзера (с алгоритмами Витерби), основанного на оценке  хуже, чем того, который основан на . Ниже мы рассмотрим совместные оцениватели канала и данных.

Совместная оценка канала и данных. Здесь мы рассмотрим совместную оптимизацию показателя качества , определяемого (11.5.3). Поскольку элементы вектора импульсной характеристики канала  непрерывные, а элементы вектора данных  дискретные, возможный подход сводится к определению максимально правдоподобной оценки  для каждой возможной последовательности данных, которая минимизирует  для каждой соответствующей оценки канала. Итак оценка канала, соответствующая -ой последовательности данных , равна

                 (11.5.13)

Для -й последовательности данных метрика  равна

(11.5.14)

Затем из ансамбля  возможных последовательностей мы выберем последовательность данных, которая минимизирует функцию цены в (11.5.14), то есть мы определяем

                                          (11.5.15)

Подход, описанный выше, является исчерпывающим исследовательским вычислительным методом с вычислительной сложностью, которая растет экспоненциально с длиной блока данных. Мы можем выбрать  и тогда мы будем  иметь одну оценку канала для каждой из  выживших последовательностей. С этого момента можно продолжить поиск, сохраняя отдельную оценку канала для каждого выжившего пути при осуществлении поиска по алгоритму Витерби по решетке.

Подобный подход был предложен Сешадри (1991). В сущности, алгоритм Сешадри – это разновидность обобщенного алгоритма Витерба (ОАВ), который сохраняет  наилучших оценок переданной последовательности в каждом состоянии решётки и наилучших оценок переданной последовательности в каждом состоянии решетки и соответствующие оценки канала. В ОАВ Сешадри поиск идентичен обычному АВ, начиная с -го шага по решетке, т.е. начиная с точки, когда обработана принятая последовательность . Так начиная с -го шага формируется исчерпывающий поиск. С каждой последовательностью данных  связана соответствующая оценка канала . Начиная с этого шага, поиск модифицируется с тем, чтобы сохранить канала . Начиная с этого шага, поиск модифицируется с тем, чтобы сохранить  выживших последовательностей и соответствующих оценок канала на состояние вместо только одной последовательности на состояние. Таким образом, ОАВ используется для обработки принимаемой сигнальной последовательности . Оценки канала улучшаются рекуррентно на каждом шаге, используя алгоритм минимума СКО для дополнительного сокращения вычислительной сложности. Результаты моделирования, данные в статье Сешарди (1991) , указывают на то, что этот ОАВ для реализации слепого выравнивания работает хорошо при умеренном отношении сигнал/шум с . Затем имеется умеренный рост вычислительной сложности ОАВ по сравнению с обычным АВ. Однако здесь имеется дополнительные вычисления, связанные с оцениванием и обновлением оценок канала , связанных с каждой из выживших оценок данных.

Альтернативный алгоритм совместного оценивания, который избегает вычисления наименьших квадратов при оценивании канала, был предложен Зервасом и др. (1991). В этом алгоритме порядок формирования совместной минимизации показателя качества  обратный. Это значит, сначала выбирается импульсная характеристика канала, скажем , а затем используется обычный АВ для нахождения оптимальной последовательности данных для этой импульсной характеристики канала. Затем мы можем модифицировать  до  и повторить оптимизацию по последовательностям данных .

Основываясь на этом общем подходе Зервас разработал новый МП алгоритм слепого выравнивания, который назван алгоритмом с квантованием канала. Алгоритм работает по решетке пространства канала, причем он становится лучше и лучше при использовании МП правила для сохранения оцененного канала в окрестности действительного неизвестного канала. Этот алгоритм приводит к эффективной параллельной реализации, а его требования к памяти такие же, как в АВ.