5.3.2. Характеристики качества сигналов МНФ

При расчете характеристик качества сигналов МНФ, достигаемого при максимально правдоподобном последовательном оценивании МППО (MLSE), мы должны определить минимум евклидова расстояния путей по решётке, которые начинаются в некотором узле в момент  и возвращаются в более позднее время в тот же узел. Как мы теперь покажем, расстояние между двумя путями на решётке относится к соответствующим сигналам.

Предположим, что имеем два сигнала  и , соответствующие двум фазовым траекториям  и . Последовательности  и  должны отличаться в первом символе. Тогда евклидово расстояние между двумя сигналами на интервале длиной , где  - скорость передачи символов, определяется так:

     (5.3.13)

Следовательно, согласно (5.3.13) евклидово расстояние сводится к разности фаз между путями на решётке состояний.

Желательно выразить расстояние  через битовую энергию. Поскольку , (5.3.13) можно выразить так:

                                                                      (5.3.14)

где  определено как

    (5.3.15)

Далee видим, что  так что, обозначив , (5.3.15) можно переписать в виде

                     (5.3.16)

где любой элемент из  может принять значения , кроме , которое не может быть равным 0.

Вероятность ошибки МНФ определяется слагаемым , соответствующим минимальному евклидову расстоянию, и ее можно выразить так:

                              (5.3.17)

где

     (5.3.18)

Заметим, что для обычной двоичной ФМ без памяти  и . Следовательно, (5.3.17) согласуется с нашим прежним результатом.

Поскольку  характеризует качество МНФ с МППО, мы можем исследовать влияние на  изменения объёма алфавита , индекса модуляции  и длительности переданного импульса в системе МНФ с парциальным откликом.

Прежде всего рассмотрим МНФ с полным откликом . Если возьмем сначала , то заметим, что последовательности

                                                          (5.3.19)

которые отличаются при  и совпадают при , приводят к двум фазовым траекториям, которые сливаются после второго символа. Это соответствует разностной последовательности

                                                        (5.3.20)

Евклидово расстояние для этих последовательностей легко вычислить из (5.3.16), а затем найти верхнюю границу для . Эта верхняя граница для  равна

                       (5.3.21)

Например, когда , что ведет к ММС, имеем d2B, так что .

Для  и при полном отклике МНФ также можно легко увидеть, что фазовые траектории сливаются при . Следовательно, верхнюю границу  можно получить, рассматривая последовательности разностей фаз , где

Эти последовательности дают верхнюю границу

     (5.3.22)

Графики зависимости  от  для  показаны на рис. 5.3.5.

Рис.5.3.5. Верхние границы  как функция индекса модуляции для сигнала МНФ с полным откликом и прямоугольным импульсом

Из этих графиков очевидно, что большие выигрыши в качестве можно достичь «увеличением объема алфавита . Надо вспомнить, однако, что . Это значит, что верхняя граница не достижима для всех значений .

Минимальное евклидово расстояние  было определено расчетом по (5.3.16) для различных сигналов МНФ Аулином и Сандбергом (1981). Например, рис. 5.3.6 иллюстрирует зависимость евклидова расстояния для двоичной ЧМНФ, как функцию индекса модуляции  при различном числе наблюдаемых символьных интервалов .

Показана также верхняя граница , определяемая (5.3.21). В частности, видим, что когда , это является тем же среднеквадратическим расстоянием, что для ФМ (двоичной или четверичной) с .

С другой стороны, требуемое число интервалов наблюдения для ММС равно , из чего получаем . Следовательно, качество ММС с МППО сравнимо с качеством (двоичной или четверичной) ФМ, что мы видели раньше.

Из рис. 5.3.6 мы также замечаем, что оптимальный индекс модуляции для двоичной ЧМНФ равен , когда число интервалов наблюдения равно . Это дает  или выигрыш в 0,85 дБ относительно ММС.

Рисунок 5.3.7 иллюстрирует зависимость евклидова расстояния от  для ЧМНФ с  и числом интервалов наблюдения  как параметра.

Также показана (штриховой кривой, которая не достигается) верхняя граница , рассчитанная по (5.3.22). Заметим, что  достигает верхней границы при некоторых значениях  при одинаковых . В частности, отметим, что максимальная величина , которая получается при , приближённо достигается при  наблюдаемых символьных интервалах. Действительный максимум достигается при  с . Для этого случая , что даёт выигрыш 3,2 дБ относительно ММС. Также отметим, что евклидово расстояние имеет минимумы при  и других значениях. Эти значения  называют слабыми индексами модуляции, и их избегают. Похожие результаты возможны для больших значений , и их можно найти в работе Аулина и Сандберга (1981) и в публикациях Андерсона и др. (1986).

Рис.5.3.6. Минимальное евклидово расстояние как функция индекса модуляции для двоичной ЧМНФ. Верхняя граница .

Рис.5.3.7. Минимальное евклидово расстояние как функция индекса модуляции для четверичной ЧМНФ. Верхняя граница .

Большие выигрыши в качестве можно также достичь при МППО и для МНФ, используя сигналы с парциальным откликом. Например, граница расстояния  при парциальном отклике импульса приподнятого косинуса, определяемого выражением

        (5.3.23)

показана на рис. 5.3.8 для .

Здесь заметим, что с ростом  параметр  также достигает больших значений. Ясно, что качество МНФ улучшается по мере увеличения коррелятивной памяти , но следует также увеличить  для того, чтобы достичь больших значений . Поскольку больший индекс модуляции требует большей полосы частот (при фиксированном ), в то время как большая длина памяти  (при фиксированном ) требует меньшей полосы частот, то лучше сравнивать евклидово расстояние как функцию от нормированной полосы частот  где  - полоса с концентрацией 99% мощности, а  - битовый интервал. Рисунок 5.3.9 иллюстрирует этот вид сравнения с ММС, используемой как точка отсчёта (0 дБ).

Рис.5.3.8. Верхняя граница  для минимального расстояния двоичной МНФ с парциальным откликом (импульс приподнятого косинуса).

Рис.5.3.9. Выигрыш в полосе частот по мощности для сигнала МНФ с частичным откликом  (импульс приподнятого косинуса – ПК).  – полоса, содержащая 99% мощности.

Из этого рисунка видно, что имеется выигрыш в несколько децибел при использовании сигналов с парциальным откликом и больших значений объема алфавита. Главная цена, которую можно платить за этот выигрыш качества, - это экспоненциально растущая сложность в реализации декодера Витерби.

Результаты качества, иллюстрируемые на рис. 5.3.9, показывают, что выигрыш относительно ММС в 3...4дБ можно легко получить без относительного расширения полосы частот, используя импульс приподнятого косинуса и МНФ с  и парциальным откликом. Хотя эти результаты получены для сигнальных импульсов приподнятого косинуса, похожие выигрыши можно достичь с другими огибающими импульсов при парциальном отклике. Подчеркнем, что этот выигрыш в ОСШ достигается введением памяти при модуляции сигнала и использованием памяти при демодуляции сигнала. Кодирование здесь не вносит избыточности. Фактически код здесь встраивается в модулятор, и декодирование решётчатого типа (Витерби) использует фазовые связи в сигнале МНФ.

Дополнительный выигрыш в качестве можно достичь введением дополнительной избыточности при кодировании и увеличением размера объема алфавита как средства, при котором сохраняется фиксированная полоса частот. В частности, МНФ с решётчатым кодированием, с использованием относительно простых свёрточных кодов, широко исследуется и много результатов имеется в технической литературе. Декодер Витерби для МНФ со свёрточным кодированием сегодня используют для учёта памяти, присущей и коду, и МНФ сигналу. Выигрыш качества порядка 4...6 дБ, обусловленный кодированием ММС с сохранением полосы частот, был продемонстрирован с комбинированием сверточного кодирования и МНФ. Обильные численные результаты для кодированной МНФ даны Линделлом (1985).

МНФ со многими индексами (multi-h). Изменением индекса модуляции от одного сигнального интервала к другому можно увеличить минимальное евклидово расстояние  между парами фазовых траекторий и таким образом улучшить выигрыш качества относительно МНФ с фиксированным индексом . Обычно МНФ со многими индексами  использует фиксированное число  индексов модуляции, которые меняются циклически в соседних сигнальных интервалах. Таким образом, фаза сигнала меняется кусочно-линейно.

Существенный выигрыш в ОСШ достигается использованием только небольшого количества различных значений . Например, для МНФ с полным откликом  и  можно получить выигрыш в 3 дБ относительно двоичной или четверичной ФМ. При увеличении  до  можно получить выигрыш в 4,5 дБ относительно ФМ. Выигрыш качества можно также увеличить с увеличением объема сигнального алфавита. Таблица 5.3.1 показывает выигрыш качества, достигаемый при  для различных значений .

Таблица 5.3.1. Максимальные значения верхней границы  для линейной МНФ с переменным индексом

На рис. 5.3.10 показана верхняя граница минимального евклидова расстояния для нескольких величин  и . По оси абсцисс отложено среднее значение . Отметим, что основной выигрыш в качестве получается, когда  увеличивается от  до . Для  дополнительный выигрыш относительно мал для малых величин . С другой стороны, существенный выигрыш качества достигается увеличением объема алфавита .

Результаты, показанные выше, имеют место для МНФ с полным откликом. Наверняка существует польза от МНФ со многими индексами  при парциальном отклике в попытке дальнейшего улучшения качества. Можно предвидеть, что такие схемы обеспечат дополнительный выигрыш качества, но имеющиеся численные результаты для МНФ со многими индексами  и парциальным откликом ограничены. Интересующемуся читателю рекомендуется статья Аулина и Сандберга (1982).

Многоамплитудная МНФ. Многоамплитудная МНФ (МАМНФ) является по существу схемой комбинирования амплитудной и фазовой модуляции, которая позволяет увеличить сигнальный алфавит относительно МНФ до другой размерности и таким образом достичь большей скорости передачи данных в частотно-ограниченном канале. Одновременно комбинирование AM с МНФ приводит к эффективной по полосе частот технике модуляции. Мы уже наблюдали спектральные характеристики МАМНФ в разд. 4.3.

Характеристики качества МАМНФ были исследованы Маллиганом (1988) для некодированной и решётчато-кодированной МНФ. Особый интерес представляет результат, что решётчато-кодированная МНФ с двумя уровнями амплитуд даёт выигрыш в 3...4 дБ относительно ММС без существенного увеличения полосы частот сигнала.

Рис.5.3.10. Верхние границы для минимального среднеквадратического эвклидова расстояния  при различных значениях  и