5.2.3. Вероятность ошибки для М-позиционной биортогональной системы сигналов

Как указано в разд. 4.3, ансамбль из  биортогональных сигналов конструируется из  ортогональных сигналов путем его дополнения сигналами, которые противоположны ортогональным сигналам. Так мы достигаем уменьшения сложности демодулятора для биортогональных сигналов относительно демодулятора такого же количества ортогональных сигналов, так как он требует лишь  взаимных корреляторов или согласованных фильтров вместо  согласованных фильтров или взаимных корреляторов.

Чтобы рассчитать вероятность ошибки для оптимального детектора, предположим, что был передан сигнал  которому соответствует вектор . Тогда вектор принимаемого сигнала

                                          (5.2.31)

где  - взаимно независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и дисперсией . Оптимальный детектор выбирает решение в пользу сигнала, которому соответствует максимальное значение взаимной корреляции

  (5.2.32)

причём знак наибольшего слагаемого используется для решения о том, передан ли сигнал  или . Согласно этому правилу решения вероятность правильного решения равна вероятности того, что , и  превышает по модулю  . Но

              (5.2.33)

Вероятность правильного решения равна

Из этой формулы, подставив выражение для , получим

      (5.2.34)

где мы использовали ФПВ, определяемое (5.2.15). Окончательно вероятность ошибки на символ .

Вероятность  и, следовательно,  можно численно рассчитать для различных значений  по (5.2.34). Кривые на рис. 5.2.6 иллюстрируют зависимость  как функцию от , где , для .

Видим, что эти кривые похожи на те, которые определяют систему ортогональных сигналов (см. рис. 5.2.5). Однако в этом случае вероятность ошибки для  больше, чем при . Это объясняется тем, что на рис. 5.2.6 показана зависимость для . Если бы мы показали зависимость эквивалентной вероятности ошибки, то можно было бы видеть, что кривые при  и  совпадают. Как и в случае ортогональных сигналов при  требуемое минимальное значение  для достижения произвольно малой вероятности ошибки равна -1,6 дБ, т.е. пределу Шеннона.