4.2.3. Ортогональное разложение сигналов
В
этом разделе мы ознакомимся с векторным представлением сигналов и. таким
образом продемонстрируем эквивалентность между сигналами и их векторными
представлениями.
Предположим,
что 
является
детерминированным вещественным сигналом с ограниченной энергией
. (4.2.20)
Далее,
предположим, что существует ансамбль функций 
, который ортонормирован в том смысле,
что
(4.2.21)
Мы
можем аппроксимировать сигнал при помощи взвешенной линейной
комбинации этих функций, т.е.
, (4.2.22)
где 
- коэффициенты в
аппроксимации .
Ошибка аппроксимации
. (4.2.23)
Выберем
коэффициенты 
так,
чтобы минимизировать энергию 
ошибки аппроксимации. Имеем
. (4.2.24)
Оптимальные коэффициенты в представлении рядом можно найти путём
дифференцирования (4.2.24) по каждому из коэффициентов и приравнять первые
производные нулю. В качестве альтернативы можем использовать хорошо известный
результат из теории оценок, основанный на критерии минимума среднего квадрата
ошибки оценивания, который гласит, что минимум 
по 
достигается тогда, когда ошибка
ортогональна к каждой из функций ряда, т.е.
,
. (4.2.25)
Поскольку функции 
ортонормированы, из 4.2.25 следует
,
. (4.2.26)
Таким образом, коэффициенты получаются как проекции
сигнала на
каждую из функций .
Как следствие, 
является
проекцией в
-мерном
пространстве сигналов, заданном функциями . Иногда говорят, что пространство
натянуто на функции . Минимальное значение среднего
квадрата, ошибки аппроксимации равно
, (4.2.27)
и оно не отрицательно по определению.
Когда средний квадрат ошибки 
, то
. (4.2.27)
При условии, что , сигнал можно выразить так:
. (4.2.28)
Равенство правой части (4.2.20) понимается в том
смысле, что ошибка представления имеет нулевую энергию.
Если каждый сигнал с ограниченной энергией можно
представить рядом (4.2.29) при , совокупность ортонормированных
функций называют
полной.
Пример 4.2.1.
Тригонометрический ряд Фурье. Сигнал с ограниченной энергией,
который равен нулю везде, кроме области 
, и имеет ограниченное число
разрывов на этом интервале, может быть представлен рядом Фурье:
, (4.2.30)
где коэффициенты 
, которые минимизируют средний квадрат
ошибки, определяются выражениями
,
. (4.2.31)
Ансамбль ортонормированных тригонометрических функций
является полным, и, следовательно, ряд (4.2.30)
обеспечивает нулевой средний квадрат ошибки. Эти свойства легко устанавливаются
из проведённого выше рассмотрения.
Процедура Грама-Шмидта. Теперь предположим, что мы имеем ансамбль сигналов с
ограниченной энергией 
, и хотим сконструировать ансамбль
ортонормированных сигналов. Процедура ортонормирования Грама-Шмидта позволяет
нам сконструировать такой ансамбль. Начнем с первого сигнала 
, причём
предполагается, что он имеет энергию 
. Первый сигнал ортонормированного
ансамбля конструируется легко:
. (4.2.32)
Таким образом, сигнал 
имеет форму но нормирован к единичной
энергии. Второй сигнал конструируется из 
, причём сначала вычисляется проекция на :
. (4.2.33)
Затем 
вычитается из для получения
. (4.2.34)
Этот сигнал ортогонален , но не имеет
единичной энергии. Если 
означает энергию для 
, то нормированный
сигнал, который ортогонален к , равен
. (4.2.35)
В общем, ортогонализация 
-й функции ведёт к
, (4.2.36)
где
(4.2.37)
и
, 
. (4.2.38)
Таким образом, процесс ортогонализации продолжается,
пока все 
сигналов
не исчерпаны и не образованы 
ортонормированных сигналов.
Размерность 
-сигнального
пространства равна , если исходные сигналы ансамбля
линейно независимы, т.е. ни один из сигналов не является линейной комбинацией
других сигналов.
Пример 4.2.2. Применим процедуру Грама-Шмидта к ансамблю четырёх сигналов,
показанных на рис. 4.2.1(a). Сигнал имеет энергию 
, так что 
. Далее мы видим,
что 
;
следовательно, и
ортогональны.
Как следствие, 
.
Чтобы получить 
,
вычислим 
и
, которые
равны 
и 
.
Таким образом,
Поскольку 
имеет единичную энергию, то следует,
что 
. Для
определения 
находим,
что 
, 
и 
. Поэтому
.
Как следствие, 
является линейной комбинацией и и поэтому 
.
Три ортонормированные функции показаны на рис. 4.2.1(b).
Рис. 4.2.1. Ортогонализация Грамма-Шмидта для сигналов
(а) и
соответствующие ортогональные сигналы (b)
Поскольку мы сконструировали ансамбль
ортонормированных сигналов , можем выразить сигналов 
как линейную комбинацию от 
.
Таким образом, можно написать
Рис. 4.2.1. Ортогонализация Грама-Шмидта для сигналов 
(a)
и соответствует ортогональные сигналы (b)
, (4.2.39)
и
. (4.2.40)
Основываясь
на выражении (4.2.39), каждый сигнал можно представить вектором
, (4.2.41)
или,
что эквивалентно, точкой в -мерном пространстве сигналов с
координатами 
.
Энергия -го
сигнала равна квадрату длины вектора или, что эквивалентно, квадрату евклидова
расстояния от начала координат к точке -мерного пространства. Таким образом,
любой сигнал можно представить геометрически как точку в пространстве сигналов,
заданном ортонормированными функциями.
Пример
4.2.3. Получим векторное представление четырех сигналов, показанных на рис.
4.2.1(a), используя ортонормальный ансамбль функций из рис. 4.2.1(b).
Поскольку
размерность пространства сигналов 
, каждый сигнал описывается тремя
компонентами. Сигнал характеризуется вектором 
. Аналогично сигналы
характеризуются
соответственно векторами 
, 
, 
. Эти векторы показаны на рис. 4.2.2.
Их длины равны 
,
, 
, 
, а соответствующие
энергии сигналов 
,
.
Рис. 4.2.2. Четыре сигнальных
вектора, представленных в виде точек в трехмерном функциональном пространстве
Мы
показали, что ансамбль сигналов с ограниченной энергией можно
представить взвешенной линейной комбинацией ортонормированных функций размерностью . Функции получены
применением процедуры ортонормализации Грама-Шмидта из . Следует подчеркнуть, что
функции ,
полученные преобразованием Грама-Шмидта, не являются уникальными
(единственными). Если мы изменим порядок формирования ортонормированных
сигналов из ,
получим другой ортонормированный ансамбль и соответствующее векторное
представление сигналов будет зависеть от выбора
ортонормальных функций . Все же, вектора 
будут сохранять
геометрическую конфигурацию и их длины будут инвариантны по отношению к выбору
ортонормированных функций .
Пример
4.2.4.
Альтернативный ансамбль ортонормированных функций для четырёх сигналов из рис.
4.2.1 показан на рис. 4.2.3(д).
Рис. 4.2.3. Альтернативный
ансамбль ортонормированных функций для четырех сигналов рис. 4.2.1 (а) и
соответствующие сигнальные точки (b)
Используя
эти функции для представления , получаем соответствующие векторы 
, 
, 
, 
, которые показаны
на рис. 4.2.3(b). Заметим, что длины векторов
идентичны тем, которые получены из прежних ортонормированных функций .
Ортогональные
представления, описанные выше, были разработаны для вещественных сигналов.
Рассмотрение комплексных сигналов оставлено как упражнение для читателей (см.
задачи 4.6 и 4.7).
В
заключение рассмотрим случай, когда сигнал является полосовым и представлен в
виде
, (4.2.42)
где
-
эквивалентные низкочастотные сигналы. Напомним, что энергии сигналов можно
выразить через 
или
так:
. (4.2.43)
Похожесть
между сигналами любой пары, например и 
, измеряется коэффициентом взаимной
корреляции
. (4.2.44)
Определим
комплексный коэффициент взаимной корреляции 
так:
. (4.2.45)
Тогда
, (4.2.46)
или,
что эквивалентно,
. (4.2.47)
Коэффициенты
взаимной корреляции между парами сигналов или сигнальных векторов определяют
совокупность параметров, характеризующих похожесть ансамбля сигналов. Другой
родственный параметр - расстояние Евклида 
между парой сигналов - определяется
так:
. (4.2.48)
Когда
для всех 
и , это выражение
упрощается:
. (4.2.49)
Итак,
расстояние Евклида является альтернативной мерой похожести (или несходства)
совокупности сигналов или соответствующих сигнальных векторов.
В
следующем разделе мы опишем сигналы цифровой модуляции и используем пространство
сигналов для их представления. Можно заметить, что сигналы цифровой модуляции
удобно представить через две ортонормированные базисные функции вида
(4.2.50)
Если
выразить
как 
, то
следует, что в
(4.2.42) можно выразить так:
, (4.2.51)
где
и 
представляют
модулирующие сигналы.
