ПРИЛОЖЕНИЕ C. ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ ДЛЯ АДАПТИВНОГО ПРИЁМА М-ФАЗНЫХ СИГНАЛОВ

В этом приложении мы определим вероятности ошибки для двух- и четырехфазовых сигналов при передачи по неизменному во времени каналу с аддиивным белым гауссовским шумом при -кратном разнесении и для -фазовых сигналов по каналу с релеевскими замираниями и адаптивным белым гауссовским шумом с -кратным разнесением. Оба канала искажают передаваемые сигналы путем введения аддитивного белого гауссовского шума и случайного мультипликативного ослабления и фазового сдвига в сигнале. Обработка сигнала в приемнике состоит из нахождения взаимной корреляции сигнала в смеси с шумом, принимаемого в каждой ветви разнесения, с опорным сигналом, получаемым или от предыдущего принятого информационного сигнала, или от пилот-сигнала, и суммирования выходов всех  каналов разнесения для формирования величины для решения.

С.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ СИСТЕМЫ СВЯЗИ С М-ФАЗОВЫМ СИГНАЛОМ

В общем случае -фазовой модуляции передаваемый сигнал имеет вид:

где

                          (С.1)

а  - длительность сигнального интервала.

Рассмотрим случай, когда на протяжении сигнального интервала передаётся один из сигналов по  каналам. Предположим, что в каждом из каналов передаваемый сигнал искажается введением мультипликативного ослабления и фазового сдвига, представленных комплексным множителем  и аддитивным шумом . Так, если передаваемый сигнал , то принимаемый сигнал в -м канале

                                       (С.2)

Шум  считается реализацией стационарного белого гауссовского случайного процесса с нулевым средним и автокорреляционной функцией , где  - спектральная плотность мощности шума.

В демодуляторе  пропускается через фильтр, импульсная характеристика которого согласована с сигналом . Выход этого фильтра в момент стробирования  обозначаем так;

                                              (СЗ)

где  - энергия переданного сигнала, a  - отсчёт шума на выходе в -го фильтра. Для того, чтобы демодулятор мог решить, какая из  фаз передана по каналу на сигнальном интервале , следует попытаться убрать фазовый сдвиг, введённый в каждом канале. На практике это осуществляется путем умножения выхода фильтра  на комплексно сопряженную величину оценки  канального ослабления и фазового сдвига. Результатом является взвешенный и сдвинутый по фазе выходной отсчет фильтра в -м канале, который затем суммируется со взвешенным и сдвинутым по фазе выходными отсчетами остальных  канальных фильтров.

Считается, что оценка  ослабления и фазового сдвига в k-м канале определяется или от передачи пилот-сигнала или путем снятия модуляции в информационном сигнале, принятом на предыдущем сигнальном интервале. Как пример формирователя, предположим, что пилот-сигнал, обозначенный , , передаётся по -му каналу с целью измерения ослабления и фазового сдвига в канале. Принимаемый сигнал равен

,

где  - отсчётная функция стационарного белого гауссовского случайного процесса с нулевым средним и автокорреляционной функцией . Этот сигнал плюс шум пропускается через фильтр, согласованный с . Отсчёт выхода фильтра в момент  содержит случайную переменную , где  - энергия пилот-сигнала, которая считается одинаковой для всех каналов, a  - отсчет аддитивного шума. Оценка  получается путем соответствующей нормировки , то есть .

С другой стороны, оценку  можно получить из информационного сигнала следующим образом. Если знать информационные компоненты, содержащиеся в выходе согласованного фильтра, то оценку  можно получить соответствующей нормировкой этого выхода. Для примера, информационная компонента выхода фильтра в (С.З) равна  и, следовательно, оценка

где , а ФПВ  аналогична ФПВ . Оценка, полученная от информационного сигнала таким путём, иногда называется ясновидящей оценкой. Хотя физически реализуемый приемник не может обладать таким «ясновидением», он может аппроксимировать эту оценку путем использования временной задержки сигнального интервала и получить путём обратной связи оценку переданной фазы на предшествующем временном интервале.

Получена ли оценка  от пилот-сигнала или от информационного сигнала, оценку можно улучшить путем расширения временного интервала в ее формировании, чтобы включить несколько предыдущих сигнальных интервалов способом, описанном Прайсом (1962а, b). Результатом расширения интервала измерения является увеличение отношения сигнал-щум в оценке . В общем случае, если интервалы оценивания не ограничены, нормированная оценка по пилот-сигналу

                                            (C.4)

где  - взвешивающее коэффициенты для подоценок , полученных на -м предшествующем сигнальном интервале, a  - отсчёт аддитивного гауссовского шума на выходе фильтра, согласованного с  на -м предшествующем сигнальном интервале. Аналогично «ясновидящая» оценка, полученная из информационного сигнала путем снятия модуляции, при неограниченном интервале обработки, равна

                                                 (C.5)

Как указывалось, демодулятор образует произведение между  и  и суммирует его с аналогичными произведениями остальных  каналов. В результате получаются случайные величины

                                        (C.6)

где, по определению, . Фаза z является величиной для решения. Она равна

   (C.7)

С.2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ФУКЦИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ФАЗЫ

Будем исходить из предположения, что фаза переданного сигнала равна нулю, то есть . При необходимости ФПВ для  при условии передачи фазы другого переданного сигнала можно получить преобразованием  на угол . Мы также предполагаем, что комплексные слагаемые , характеризующие  каналов, статистически взаимно независимые и одинаково распределенные гауссовские случайные величины с нулевыми средними. Такая характеристика приемлема для каналов с медленными релеевскими замираниями. Как следствие, случайные величины  гауссовские, коррелированные комплексные, с нулевыми средними и статистически независимые, но одинаково распределённые с любой другой парой .

Метод, который используется при расчёте плотности вероятности , в общем случае разнесенного приема, следующий. Во-первых, определяется характеристическая функция совместной функции плотности вероятности  и ,  где  и  - две компоненты, которые определяют величину для решения . Во-вторых, выполняются двойное преобразование Фурье характеристической функции, что даст . Затем преобразование

                                           (С.8)

даст совместную ФПВ огибающей  и фазы . В заключение интегрирование совместной ФПВ по случайной величине  дает ФПВ для .

Совместная характеристическая функция случайных величин  и , можно выразить в виде

  (C.9)

где, по определению,

                     (C.10)

.

Результат преобразования Фурье  по величинам  даёт

   (C.11)

где  - модифицированная функция Ханкеля порядка . Затем преобразование случайных величин указанных в (С.8), дает совместную ФПВ огибающей  и фазы  в виде

                 (С.12)

Теперь интегрирование по величине  даёт собственно ФПВ фазы . Мы вычислим интеграл для получения  в виде

                          (С.13)

В этом уравнении обозначение  означает -ю частную производную функции  при .

С.З. ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ ДЛЯ КАНАЛОВ С МЕДЛЕННЫМИ РЕЛЕЕВСКИМИ ЗАМИРАНИЯМИ

В этом разделе определяется вероятность характерных ошибок и вероятность ошибочного приема двоичных символов для M-фазных сигналов. Вероятности вычисляются через функцию плотности вероятности и функций распределения вероятностей 0.

Функция распределения вероятности фазы. Чтобы определить вероятность ошибки, мы должны вычислить определенный интеграл.

,

где  и  пределы интегрирования, a  определяется (С.13). Все последующие вычисления выполняются для вещественных коэффициентов взаимной корреляции . Вещественность  означает, что сигнал имеет симметричный спектр. Такая ситуация обычно встречается. Поскольку комплексная величина  обуславливает сдвиг с в ФПВ , то есть  просто слагаемое наклона, результаты, даваемые для вещественной  можно тривиальным путем .изменить, чтобы охватить более общий случай комплексного .

При интегрирования  рассматривается только область , поскольку  является четной функцией. Далее, непрерывность интегрируемой функции и её производных и тот факт, что пределы  и  зависят от  позволяют менять местами интегрирование и дифференцирование. Если это выполнить результирующая интеграл можно вычислить совсем легко, и его молено выразить так:

  (С.14)

где по определению

                        (С. 15)

Вероятность ошибочного приёма символа. Вероятность ошибки символа для М-фазной системы сигналов равна

Если (С. 14) проинтегрировать в этих пределах, то результат равен

         (С.16)

Вероятность  ошибки двоичных символов. Сначала рассмотрим двухфазовых сигналов. В этом случае вероятность ошибки двоичных символов получается интегрированием ФПВ  в области . Поскольку  - чётная функция, а сигналы априорно равновероятны, эту вероятность молено выразить так:

Легко показать, что  предполагает  и  предполагает . Таким образом.

                         (С.17)

После выполнения дифференцирования, указанного в (С.17) и вычисления результата при  вероятность ошибки для двоичного символа получается в виде

                                                            (C.18)

Далее мы рассмотрим случай четырех фазовых сигналов с использованием кода Грея для отображения пары двоичных символов в определенную фазу. Снова предположив, что передаваемый сигнал  становится ясно, что одиночная ошибка совершается, когда принимаемая фаза , а двойная ошибка совершается, когда принимаемая фаза . Это значит, что вероятность ошибки на бит для четырехфазовой системы символов

                                             (C.19)

Легко получить с учетом (С. 14) и (С, 19), что

Таким образом, окончательно для вероятности ошибки на бит для четырeхфазовых сигналов 

                                            (C.20)

Заметим, что если ввести замену , выражение для  можно выразить через  так:

                                                     (C.21)

Другими словами  имеет тот же вид что , определяемое (С.18). Далее заметим, что  подобно  можно интерпретировать как коэффициент взаимной корреляции, так как при  область определения . Этот простой факт будет использован в разделе С.4.

Вышеизложенная процедура получения вероятности ошибки на бит для -фазовых сигналов с кодом Грея можно использовать для получения результатов при  и так далее, как показано Прокисом (1968).

Вычисление коэффициентов взаимной корреляции. Выражение для вероятности ошибок данных выше зависит от единственного параметра, именно, коэффициентов взаимной корреляции  «ясновидящая» оценка дана (С.5) а выход согласованного фильтра, когда передастся сигнал  равен . Следовательно, коэффициент взаимной корреляции равен

,                                          (С.22)

где по определению

;                         (С.23)

Параметр  представляет эффективное число сигнальных интервалов, на которых формируется оценка, а  - это среднее ОСШ на канале.

Для случая дифференциальной ФМ взвешивающие коэффициенты раны  для . Следовательно,  и .

Когда , совершенная оценка равна

.

Таблица С.1. Канал с релеевскими замираниями

Наконец, для случая оценки на основе пилот-сигнала, даваемой (С.4), коэффициент взаимной корреляции равен

,                                             (C.24)

где по определению,

Величина , определенная выше, приведена в таблице С.1.

С.4. ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ ДЛЯ НЕИЗМЕННЫХ ВО ВРЕМЕНИ КАНАЛОВ И КАНАЛОВ С РАЙСОВСКИМИ ЗАМИРАНИЯМИ

В разделе С.2 комплексные коэффициенты ослабления канала  характеризовались как гауссовские случайные величины с нулевым средним, что соответствует каналам с релеевскими замираниями. В этом разделе коэффициенты ослабления канала  предполагаются гауссовскими случайными величинами с ненулевыми средними. Оценки коэффициентов ослабления канала формируются демодулятором, и они используются так, как описано в разделе С.1. Более того, величины для решения  опять-таки определяются (С.2). Однако в рассматриваемом случае гауссовские случайные величины  и , которые определяют выходы согласных фильтров и оценок, соответственно, для -го канала, имеют ненулевые средние, обозначаемые  и . Далее, вторые моменты равны

а нормированная ковариация равна

.

Для этой модели канала ниже даны вероятности ошибка только для двух- и четырехфазовых сигналов. Мы интересуемся частным случаем, когда флуктуирующие компоненты каждого из канальных ослаблений  отсутствуют, так что каналы неизменны во времени. Если дополнительно к неизменности во времени параметров канала шумы оценки и выхода согласованного фильтра не коррелированны, то .

В общем случае вероятность ошибки передачи двухфазовых сигналов по статистически независимым  каналам, характеризуемым так, как описано выше, можно получить из результатов приложения В. В наиболее общем виде выражение для вероятности ошибки двоичной системы символов

,

где, по определению.

где  - модифицированная функция Бесселя первого ряда порядка .

Определим константы а и b , когда канал неизменен во времени, , а оценка ослабления канала и фазы даны в разделе С.1. Напомним, что когда передается  выход согласованного фильтра , «ясновидящая» оценка дана (С.5). Следовательно, для этой оценки моменты равны  где  - энергия сигнал,  - значение спектральной плотности шума, a  определено (С.23). Подстановка этих моментов в (С.26) дает следующее выражение для  и

           (С.27)

Этот результат первоначально полнен Прайсом (1962).

Вероятность ошибки для дифференциальной ФМ можно получить, положив  в (С.27).

Далее рассмотрим оценку по пилот сигналу, В этом случае оценка дается (С.4), а выход согласованного фильтра снова . Если вычислить моменты и их подставить в (С.26) получаются следующие выражения для  и :

,                          (С.28)

где

.

Наконец, рассмотрим вероятность ошибки при передаче четырехфазовой системы сигналов по неизменному во времени каналу, при условии . Один из подходов, который можно использовать для определения вероятности ошибки сводится к определению ФПВ 0 и затем к ее интегрированию по соответствующей области значений . К сожалению, такой подход математически трудно осуществить. Вместо этого можно использовать простой, хотя и обходной метод, включающий преобразование Лапласа. Интеграл (14.4.14), который связывает вероятность ошибки  в канале с АБГШ с вероятностью ошибки  в канале с релеевскими замираниями, является преобразованием Лапласа. Поскольку вероятность ошибки на бит  и  для канала с релеевским замираниями, определяемые (С.18) и (С.21) соответственно имеет туже форму, но отличается только коэффициентом корреляции, то следует, что вероятность ошибки на бит для неизмененного во времени канала также имеет туже форму. Это значит, что (С.25) с  является также выражением для вероятности ошибки на бит для четырех фазовой системы сигналов с модифицированными параметрами а и b, отражающими разницу коэффициентов корреляции. Дальнейшие исследования можно найти в статье Прокиса (1968). Выражение для  и  даны в таблице С.2.

Таблица С.2. Канал, неизменный во времени