6.2.5. Петли, не управляемые решениями

Вместо использования схемы, управляемой решениями для получения оценки фазы, можно трактовать данные как случайные величины и просто усреднить  по этим случайным величинам до её максимизации. Чтобы выполнить такое усреднение, можно использовать или действительную функцию распределения вероятностей данных, если она известна, или можно предположить некоторое распределение вероятностей, которое является подходящим приближением для правильного распределения. Следующие примеры демонстрируют первый подход.

Пример 6.2.2. Предположим, что сигнал двоичной линейной модуляции  является вещественным. Тогда на сигнальном интервале мы можем написать

где  с равными вероятностями. Ясно, что ФПВ для  равна

.

Теперь функция правдоподобия , определяемая (6.2.9), является условной при заданном значении , и её следует усреднять по этим двум значениям. Таким образом,

а соответствующий логарифм функции правдоподобия

     (6.2.44)

Если продифференцируем  и приравняем производную нулю, получим МП оценку для фазы, не управляемую решениями (оценивание, не управляемое решениями - ОНУР, NDDE). К сожалению, функциональное отношение в (6.2.44) существенно нелинейно, и, следовательно, точное решение трудно получить. С другой стороны, возможна аппроксимация. В частности,

                                (6.2.45)

С этой аппроксимацией решение для  получается в трактуемом виде.

В этом примере мы усреднили по двум возможным значениям амплитуды информационных символов. Если информационные символы -позиционные, а  велико, операция усреднения содержит нелинейные функции высокого порядка от параметра, который оценивается. В этом случае мы можем упростить проблему, предположив, что амплитуды информационных символов являются непрерывными случайными величинами. Например, мы можем предположить, что они подчиняются гауссовскому распределению с нулевым средним. Следующие примеры иллюстрируют эту аппроксимацию и результирующую форму для усредненной функции правдоподобия.

Пример 6.2.3. Рассмотрим тот же сигнал, что в примере 6.2.2, но теперь предположим, что амплитуда  является гауссовской, с нулевым средним и единичной дисперсией, т.е.

Если мы усредним  по заданной ФПВ , получим для усреднённой функции правдоподобия

   (6.2.46)

и соответствующий логарифм усреднённой функции правдоподобия

         (6.2.47)

Теперь мы можем получить МП оценку для  путём дифференцирования  и приравнивания результата нулю.

Интересно отметить, что логарифм усреднённой функции правдоподобия является квадратичным при гауссовском предположении, а также то, что он имеет квадратичную аппроксимацию, определённую (6.2.45), для малых значений взаимной корреляции  и . Другими словами, если взаимная корреляция на одном интервале мала, гауссовское предположение для распределения амплитуд информационных символов даёт хорошую аппроксимацию для логарифма усреднённой функции правдоподобия.

С точки зрения этих результатов мы можем использовать гауссовскую аппроксимацию на все символы на интервале. Конкретнее, предположим, что  информационных символов статистически независимы и одинаково распределены. При усреднении функции правдоподобия  по гауссовской ФПВ на каждом из  символов на интервале  получаем результат

    (6.2.48)

Если мы возьмём логарифм от (6.2.48), продифференцируем его и приравняем результат нулю, получим условие для МП оценки в виде

     (6.2.49)

Хотя это уравнение можно преобразовывать и дальше, уже его настоящая форма предполагает схему петлевого отслеживания, показанного на рис. 6.2.11. Эта петля похожа на петлю Костаса, которая будет описана ниже. Заметим, что произведение двух сигналов от интеграторов устраняет знак несущей, обусловленной информационными символами

Рис. 6.2.11. ФАП, не использующая решения детектора для оценивания фазы АМ сигналов

Сумматор играет роль петлевого фильтра. В петлевой схеме отслеживания сумматор можно реализовать или как цифровой фильтр со скользящим окном (сумматор), или как низкочастотный цифровой фильтр с экспоненциальным взвешиванием последних данных.

Подобным образом можно осуществить МП оценку фазы, не управляемую решениями, для КАМ и многопозиционной ФМ.

Исходная операция сводится к усреднению функции правдоподобия (6.2.91) по статистике параметров данных. Здесь снова мы можем использовать гауссовскую аппроксимацию (двухмерное гауссовское распределение для комплексных информационных символов) или усреднение по информационной последовательности.

Квадратичная петля. Квадратичная петля – это петля, не управляемая решениями, которая широко используется на практике для установления фазы несущей в двухполосной системе с подавленной несущей, такой как AM. Чтобы описать её работу, рассмотрим проблему оценивания фазы несущей сигнала цифровой AM в виде

                                     (6.2.50)

где  несёт цифровую информацию. Заметим, что , когда сигнальные уровни распределены симметрично относительно нуля. Следовательно, усреднённое значение  не может дать ни одной фазокогерентной частотной компоненты, исключая несущую. Один из методов восстановления несущей от принимаемого сигнала сводится к его квадратированию и, следовательно, к генерированию частотной компоненты, которую можно использовать для образования фазозамкнутой петли (ФЗП), настроенной на частоту . Этот метод иллюстрируется блок-схемой, показанной на рис. 6.2.12.

Рис.6.2.12. Восстановление несущей с использованием квадратирующего устройства

Выход квадратичного устройства равен

    (6.2.51)

Поскольку модулированный сигнал является циклостационарным случайным процессом, математическое ожидание от  равно

      (6.2.52)

Следовательно, имеется мощность на частоте .

Когда выход квадратирующего устройства проходит через полосовой фильтр, настроенный на удвоенную частоту в (6.2.51), среднее-значение на выходе фильтра – это синусоида с частотой , фазой  и амплитудой , где  - усиление фильтра на частоте . Таким образом, квадратирующее устройство образует периодическую компоненту от входного сигнала . По существу, квадратирование уничтожает знак информации, содержащейся в  и таким образом приводит к фазокогерентндй частотной компоненте на удвоенной частоте несущей. Фильтруемая компонента на частоте  затем используется для управления ФЗП.

Операция квадратирования ведет к обогащению шума, что увеличивает уровень шумовой мощности на входе ФАП и ведёт к увеличению дисперсии фазовой ошибки.

Чтобы разобраться с этим вопросом, допустим, что на вход квадратирующего звена поступает сигнал , где  определено (6.2.50), а  представляет полосовой аддитивный гауссовский шумовой процесс. При квадратировании  получаем

                           (6.2.53)

где  - желательная сигнальная компонента, а две остальные компоненты – это слагаемые  и . Вычислив автокорреляционную функцию и спектральную плотность мощности этих двух шумовых компонент, можно легко показать, что обе компоненты имеют спектральную плотность мощности в частотной полосе, сосредоточенной вблизи . Следовательно, полосовой фильтр с полосой , центрированной на частоте , который создает желательные синусоидальные компоненты сигнала, управляющие ФЗП, также пропускает шум, обусловленный двумя слагаемыми. Поскольку полоса петли рассчитывается так, чтобы быть существенно меньшей, чем полоса  полосового фильтра, суммарный спектр шума на входе ФЗП можно аппроксимировать константой на частотах внутри полосы петли. Такая аппроксимация позволяет нам получить простое выражение для дисперсии фазовой ошибки

                                                                     (6.2.54)

где  названа квадратичными потерями и определяется так:

                                          (6.2.55)

Поскольку  определяет увеличение дисперсии фазовой ошибки, вызванной дополнительным шумом (слагаемым ), обусловленным квадратированием. Заметим для примера, что, когда , потери составляют 3 дБ.

В заключение заметим, что выход ГУН в схеме с квадратированием необходимо делить по частоте на 2, чтобы генерировать синхронную несущую для демодуляции сигнала. Надо подчеркнуть, что выход делителя частоты характеризуется неоднозначностью фазы на  относительно фазы принимаемого сигнала. Из этих соображений двоичные данные следует дифференциально кодировать до модуляции и дифференциально декодировать в приёмнике.

Петля Костаса. Другой метод восстановления фазированной несущей для двухполосной системы с подавленной несущей иллюстрируется рис. 6.2.13. Эта схема была предложена Костасом (1956) и называется петлей Костаса.

Принимаемый сигнал умножается на  и , которые являются выходами ГУН. Получаем два произведения:

    (6.2.56)

где фазовая ошибка . Слагаемое с удвоенной частотой устраняется фильтрами низких частот, расположенными после умножителей.

Рис.6.2.13. Блок-схема петли Костаса.

Сигнал ошибки генерируется путем умножения двух выходов фильтров низких частот. Таким образом,

     (6.2.57)

Этот сигнал ошибки фильтруется петлевым фильтром, выход которого управляет ГУН. Читатель может убедиться в похожести петли Костаса и петли ФЗП, показанной на рис. 6.2.11.

Заметим, что сигнал ошибки на входе петлевого фильтра состоит из желательного слагаемого  и слагаемых, которые содержат  и . Эти слагаемые похожи на две шумовые слагаемые на входе ФЗП при использовании метода квадратирования. Действительно, если петлевой фильтр в петле Костаса идентичен тому, который используется в квадратичной петле, две эти петли эквивалентны. С учетом этого условия ФПВ ошибки фазы и качество этих двух схем ФАП идентичны.

Интересно заметить, что оптимальный ФНЧ для подавления слагаемых с двойной частотой в петле Костаса – это фильтр, согласованный с сигнальным импульсом информационной последовательности. Если согласованные фильтры используются как ФНЧ, их выходы можно стробировать с битовой скоростью в конце каждого сигнального интервала, а отсчёты в дискретных точках времени могут быть использованы для правления в петле. Использование согласованного фильтра ведет к меньшему шуму в петле.

В заключение заметим, что, как и в квадратичном ФЗП, выход ГУН в петле Костаса а неоднозначность фазы на , что делает необходимым предварительное дифференциальное кодирование на передаче и дифференциальное декодирование после детектора.

Оценка несущей в системах с многопозиционными сигналами. Когда цифровая информация передается посредством -позиционной модуляции фазы несущей, методы, описанные выше, можно обобщить, чтобы получить хорошую сфазированную несущую в демодуляторе. Принимаемый -фазный сигнал, исключая аддитивный шум, можно выразить так:

     (6.2.58)

где  представляет информационную компоненту фазы сигнала. Проблема восстановления несущей сводится к устранению информационной компоненты фазы и, как следствие, получению немодулированной несущей . Один из методов, при помощи которого это можно сделать, иллюстрируется на рис. 6.2.14, который представляет обобщение петли с квадратированием. Сигнал проходит через устройство возведения в -ю степень, которое генерирует определённое число гармоник . Полосовой фильтр выбирает гармонику  для управления ФЗП. Слагаемое информационной компоненты фазы сигнала

Рис.6.2.14. Восстановление несущей с использованием устройства возведения в -ю степень для -позиционной ФМ

Таким образом, информация устранена. Выход ГУН – это ; этот выход делится по частоте на  для получения  и сдвигается на  для получения . Эта компонента затем подаётся на демодулятор. Нетрудно показать, что имеется неоднозначность в этих упомянутых синусоидах на , которую можно преодолеть дифференциальным кодированием данных на передаче и дифференциальным декодированием после демодуляции на приёме.

Как в случае квадратичной ФЗП, полиномиальная ФЗП работает в присутствии шума, возрастающего после прохождения через устройство возведения в -ю степень, которое даёт на выходе сигнал .

Дисперсию фазовой ошибки в ФЗП, обусловленной аддитивным шумом, можно выразить в простой форме:

                                                                          (6.2.59)

где  - петлевое ОСШ, а  - потери из-за возведения в -ю степень.  рассчитали Линдсей и Саймон (1979) для .

Другой метод восстановления несущей в -фазной ФМ базируется на обобщении петли Костаса. Этот метод требует умножения принимаемого сигнала на несущую с фазовым сдвигом вида

низкочастотной фильтрации слагаемых произведения и затем перемножения выходов низкочастотных фильтров для генерирования сигнала ошибки. Сигнал ошибки возбуждает петлевой фильтр, который создаёт сигнал управления для ГУН. Этот метод относительно сложен для применения и, как следствие, обычно не используется на практике.

Сравнение петель, управляемых и не управляемых решениями. Заметим, что фазозамкнутая петля с ОСР (ФЗПОСР, DFPLL) отличается от петли Костаса только методом очищения  с целью устранения модуляции. В петле Костаса каждый из двух квадратурных сигналов, используемых для очищения , поражается шумом. С другой стороны, квадратичная петля похожа на петлю Костела шумовыми компонентами, влияющими на оценку . Следовательно, ФЗПОСР предпочтительнее по качеству по отношению как к петле Костаса, так и к квадратичной петле, обеспечивая работу демодулятора при вероятности ошибки ниже , причём редкие ошибки решения несущественно влияют на . Численные сравнения дисперсии фазовых ошибок в петле Костаса относительно тех, которые имеют место в ФЗПОСР. были выполнены Линдсеем и Саймоном (1973), и они показывает, что дисперсия в ФЗПОСР в 4... 10 раз меньше для отношения сигнал/шум на бит около 0 дБ.