5.4.1. Оптимальный приёмник двоичных сигналов

Рассмотрим двоичную систему связи, которую используют для передачи информации двух модулированных по несущей сигналов  и , где

      (5.4.1)

а , - эквивалентные низкочастотное сигналы.

Считается, что два сигнала имеют равные энергии

                               (5.4.2)

и они характеризуются комплексным коэффициентом корреляции

                                     (5.4.3)

Считается, что принимаемый сигнал отличается от переданного случайной фазой и подвергается воздействию аддитивного шума

     (5.4.4)

Таким образом, принимаемый сигнал можно выразить так:

                        (5.4.5)

где

                        (5.4.6)

- эквивалентный низкочастотный принимаемый сигнал. Этот принимаемый сигнал теперь проходит через демодулятор, отсчёт которого при  подается на детектор.

Оптимальный демодулятор. В разд. 5.1.1 мы показали, что, если принимаемый сигнал коррелируется с набором ортонормированных функций , на которые натянуто пространство сигналов, выходы набора корреляторов обеспечивают набор достаточных статистик для детектора с тем, чтобы сделать решение, которое минимизирует среднюю вероятность ошибки. Мы также показали, что набор согласованных фильтров может заменить набор корреляторов.

Похожее ортонормированное разложение можно выполнить по отношению к принимаемому сигналу с неизвестной фазой несущей. Однако математически удобнее иметь дело с эквивалентным низкочастотным сигналом и выполнить сигнальные корреляторы или согласованные фильтры по отношению к эквивалентным низкочастотным сигналам.

Для конкретности: импульсная характеристика фильтра, согласованного с комплексным эквивалентным низкочастотным сигналом , , определяется так (см. задачу 5.6):

                                                              (5.4.7)

а выход такого фильтра в момент  равен

                                                             (5.4.8)

где  - энергия сигнала. Аналогичный результат получается, если сигнал  коррелируется с , а коррелятор стробируется в момент времени . Следовательно, оптимальный демодулятор для эквивалентного низкочастотного принимаемого сигнала  в (5.4.6) можно реализовать двумя согласованными фильтрами, работающими параллельно, один согласован с а другой с . Он показан на рис. 5.4.1. Выходы согласованных фильтров или корреляторов в точках отсчёта являются двумя комплексными числами

                                              (5.4.9)

Предположим, что передаётся сигнал . Тогда легко показать (см. задачу 5.35), что

    (5.4.10)

Рис. 5.4.1. Оптимальный приёмник для двоичных сигналов

где  - комплексный коэффициент корреляции двух сигналов  и , который можно выразить как . Случайные величины шума  - совместно гауссовские с нулевыми средними и равными дисперсиями.

Оптимальный детектор. Оптимальный детектор наблюдает случайные величины , где  и , и выносит свое решение на основе апостериорных вероятностей . Эти вероятности можно выразить так:

                     (5.4.11)

и, следовательно, оптимальное правило решения можно выразить в виде

или, что эквивалентно,

                                                            (5.4.12)

Отношение ФПВ в левой части (5.4.12) – это отношение правдоподобия, которое мы обозначим так:

                                                                 (5.4.13)

Правая часть (5.4.12) – отношение двух априорных вероятностей, которое принимает значение 1, когда два сигнала равновероятны.

ФПВ  и  можно получить путём усреднения условной ФПВ  по случайной фазе несущей с ФПВ , т.е.

                              (5.4.14)

Мы выполним интегрирование (5.4.14) для специального случая, когда два сигнала ортогональны, т.е. . В этом случае выходы демодулятора

   (5.4.15)

где  - взаимно некоррелированные и, следовательно, статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними (смотри задачу 5.25). Значит, совместную ФПВ для  можно выразить как произведение системных ФПВ. Следовательно,

      (5.4.16)

где

Равномерное распределение для фазы несущей  представляет наибольшее незнание для детектора. Она называется ФПВ с наименьшим предпочтением для . В этом случае . Подставив  в интеграл (5.4.14), получим

   (5.4.17)

Hо

    (5.4.18)

где  - модулированная функция Бесселя нулевого порядка, определенная (2.1.120).

При выполнении интегрирования, аналогичного (5.4.17) в предположении, что передан сигнал , получим результат

     (5.4.19)

Если подставить эти результаты в отношение правдоподобия, определяемое (5.4.13), получим результат

                              (5.4.20)

Таким образом, оптимальный детектор вычисляет две огибающие  и , и соответствующие значения функции Бесселя  и  для того, чтобы сформировать отношение правдоподобия. Мы видим, что эти вычисления требуют знания дисперсии шума . Затем отношение правдоподобия сравнивается с порогом , чтобы определить, какой сигнал передан.

Существенные упрощения в реализации оптимального детектора возникают, когда оба сигнала равновероятны. В этом случае порог равен единице и с учетом монотонного изменения функции Бесселя, показанного на рис. 5.4.2, правило оптимального детектирования упрощается:

                                                   (5.4.21)

Таким образом, оптимальный детектор основывает свое решение на двух огибающих  и , и поэтому он называется детектором огибающей.

Рис.5.4.2. График

Мы видим, что вычисление отсчётов огибающих принимаемого сигнала на выходе демодулятора делает фазу сигнала не относящейся к делу при решениях о том, какой сигнал передавался. Эквивалентно решение можно сделать на основе квадратов огибающих  и . В этом случае детектор называется квадратичным.

Двоичные сигналы ЧМ являются примером двоичных ортогональных сигналов. Напомним, что в двоичной ЧМ мы используем две различные частоты, скажем  и . Выбор минимального разноса частот  рассматривается ниже. Таким образом, эти сигналы можно выразить так:

              (5.4.22)

и их эквивалентные низкочастотные представления

                    (5.4.23)

Принимаемый сигнал можно записать так:

            (5.4.24)

где  - фаза частоты несущей . Демодуляцию вещественного сигнала можно выполнить как показано на рис. 5.4.3, посредством четырех корреляторов с базисными функциями:

      (5.4.25)

Четыре выхода корреляторов стробируются в конце каждого сигнального интервала и поступают на детектор. Если передается -й сигнал, четыре отсчёта у детектора можно выразить так:

   (5.4.26)

где  и  - гауссовские шумовые компоненты в выходных отсчётах.

Рис.5.4.3. Демодуляция и квадратичное детектирование двоичных сигналов ЧМНФ

Видим, что, когда , отсчётные значения детектора равны

                                                 (5.4.27)

Далее видим, что, если , сигнальные компоненты в отсчётах  и  исчезают, независимо от величин сдвигов фаз , обеспечивая разделение частот при . В этом случае два других выхода корреляторов состоят только из шума, т.е.

                                      (5.4.28)

С частотным разносом  отношения (5.4.27) и (5.4.28) согласуются с прежним результатом (5.4.25) для выходов демодулятора. Следовательно, делаем заключение, что при детектировании огибающей или при квадратичном детектировании сигналов ЧМ минимальный разнос частот, требуемый для ортогональности сигналов, равен . Этот разнос вдвое больше, чем в случае когерентного детектирования.