3.4.2. Скалярное квантование

При кодировании источника квантователь может быть оптимизирован, если известна ФПВ уровней сигнала на входе квантователя. Например, предположим, что последовательность  на входе квантователя имеет ФПВ  и  - желаемое число уровней квантования. Необходимо рассчитать оптимальный скалярный квантователь, который минимизирует некоторую функцию ошибки квантования , где  - квантованное значение . Для дальнейшей разработки предположим, что  определяет желательную функцию ошибки. Тогда искажение, возникающее за счёт квантования сигнальных уровней, равно

.                                                       (3.4.22)

В общем, оптимальный квантователь минимизирует  путём оптимального выбора выходных уровней и входного диапазона для каждого выходного уровня. Эту оптимизационную проблему рассматривали Ллойд (1982) и Макс (1960), и полученный оптимальный квантователь назван квантователем Ллойда-Макса.

У равномерного квантователя выходные уровни определяются как  для амплитуды входного сигнала в диапазоне , где  - размер шага квантования. Если квантователь симметричен (относительно нуля) с конечным числом уровней, среднее искажение (3.4.22) может быть выражено в виде

.         (3.4.23)

В этом случае минимизация  выполняется с учётом параметра размера шага .

Путём дифференцирования  по  получаем

,      (3.4.24)

где  означает производную . При выборе критериальной функции ошибки  можно получить численное решение (3.4.24) для оптимального размера шага на компьютере для произвольной заданной ФПВ . Для среднеквадратичного критерия ошибки, кода , Макс(I960) рассчитал оптимальный размер шага  и минимальное значение среднеквадратической ошибки, когда ФПВ  является гауссовской с нулевым средним и единичной дисперсией. Некоторые из этих результатов даны в табл. 3.4.2.

Таблица 3.4.2. Оптимальные размеры шага при равномерном квантовании гауссовских случайных величин

Видим, что минимальная среднеквадратическая ошибка  уменьшается немного больше, чем на 5 дБ, при каждом удвоении числа уровней . Следовательно, каждый бит, который используется равномерным квантователем с оптимальным размером числа  для гауссовского входного сигнала уменьшает искажение более чем на 5 дБ.

Если соблюдать условие, что квантователь равномерный, искажение можно дополнительно уменьшить. В этом случае мы выберем выходной уровень , когда амплитуда входного сигнала находится в диапазоне . Для квантования с  уровнями крайними точками являются  и . Результирующее искажение

                                                           (3.4.25)

снова минимизируется путём оптимального выбора  и .

Необходимые условия для минимальных искажений можно получить дифференцированием  по  и . Результат такой оптимизации выражается двумя уравнениями:

, ,                         (3.4.26)

, .                             (3.4.27)

Как частный случай мы снова рассмотрим минимизацию среднеквадратических значений искажений. В этом случае, , и, следовательно, из (3.4.26) следует

, ,                                     (3.4.28)

что является среднеарифметическим  и . Соответствующие уравнения, определяющие ,

, .                                 (3.4.29)

Таким образом,  является центроидом области  между  и . Эти уравнения могут быть решены численно для произвольных ФПВ . Таблицы 3.4.3 и 3.4.4 дают результаты оптимизации Макса (1960) для оптимального четырёхуровневого и восьмиуровневого квантователя сигнала, распределённого по Гауссу с нулевым средним и единичной дисперсией.

Таблица 3.4.3. Оптимальный 4-уровневый квантователь для гауссовской случайной величины

Таблица 3.4.4. Оптимальный 8-уровневый квантизатор для гауссовской случайной величины (Макс, 1960)

В таблице 3.4.5 сравниваются минимальные среднеквадратические искажения для гауссовской амплитуды сигнала в равномерном и неравномерном квантователях. Из этой таблицы мы видим, что разница в характеристиках двух типов квантователей относительно мала для малых значений  (меньше чем 0,5 дБ для ), но она растёт с ростом . Например: при , неравномерный квантователь примерно на 1,5 дБ лучше равномерного.

Таблица 3.4.5. Сравнение оптимальных равномерного и неравномерного квантизаторов для гауссовской случайной величины (Макс, 1960; Паез и Глиссон, 1972)

Поучительно построить кривые зависимости минимальных искажений от битовой скорости  бит на отсчёт (на символ) источника для равномерного и неравномерного квантователей.

Эти кривые даны на рис. 3.4.2. Функциональную зависимость искажений  от битовой скорости  можно выразить как  - функцию искажение-скорость. Мы видим, что функция искажение-скорость для оптимального неравномерного квантователя лежит ниже, чем для равномерного квантователя. Поскольку квантователь превращает непрерывную амплитуду источника в дискретную, мы можем трактовать дискретные амплитуды как символы, скажем  с соответствующими вероятностями . Если отсчёты сигнала амплитуды статистически независимы, то на выходе квантователя имеем дискретный источник без памяти, и, следовательно, его энтропия

.                                          (3.4.30)

Рис. 3.4.2. Кривые зависимости искажение-скорость для гауссовского источника без памяти с дискретным временем

Для примера: оптимальный четырёхуровневый неравномерный квантователь для распределённой по Гауссу амплитуды приводит к вероятностям  для двух внешних уровней и  для двух внутренних уровней. В этом случае энтропия дискретного источника  бит/символ. Следовательно, при помощи энтропийного кодирования (кодирование Хаффмена) блоков выходных символов мы можем достичь минимальных искажений (-9,30 дБ) посредством 1,911 бит/символ вместо 2 бит/символ. Макс (1960) определил энтропию для дискретных символов источника после процесса квантования. Таблица 3.4.6 показывает значение энтропии при неравномерном квантовании. Зависимость  для этого случая также показана кривой на рис. 3.4.2 и обозначена как энтропийное кодирование.

Таблица 3.4.6. Энтропия выхода оптимального неравномерного квантователя гауссовской случайной величины (Макс, 1960)

Из этого обсуждения мы заключаем, что качество квантователя можно анализировать, когда известна ФПВ непрерывного выхода источника. Оптимальный квантователь с  уровнями обеспечивает минимальное искажение , где  бит/отсчёт. Такого уровня искажений можно достичь простым представлением каждого квантованного отсчёта  битами. Однако возможно более эффективное кодирование. Дискретные выходы квантователя характеризуются рядом вероятностей , которые можно использовать для расчёта эффективных неравномерных кодов для выхода источника (энтропийное кодирование). Эффективность какого-либо метода кодирования можно сравнить с функцией искажение-скорость или, что эквивалентно, с функцией скорость-искажение для дискретного времени и непрерывных амплитуд источника, характеризуемого данной ФПВ. Если мы сравним характеристики оптимального неравномерного квантователя с функцией искажение-скорость, мы найдём, например, что для искажения в -26 дБ энтропийное кодирование требует скорость на 0,4 бит/отсчёт больше, чем минимальная скорость, даваемая (3.4.8), а простое блоковое кодирование каждого символа требует скорость на 0,68 бит/отсчёт больше, чем минимальная скорость. Мы также видим, что функция искажение-скорость для оптимального равномерного и неравномерного квантователей гауссовского источника асимптотически приближается к наклону -6 дБ/бит для больших .