10.1.1. Оптимальный приёмник максимального правдоподобия

Представим принимаемый сигнал  в виде разложения

,                      (10.1.2)

где  - полная система ортонормированных функций, a  - наблюдаемые (на фоне шума) случайные величины, полученные проектированием  на ансамбль . Легко показать, что

                         (10.1.3)

где  - величина, полученная от проектирования  на , a  - величина, полученная от проектирования  на . Последовательность  является гауссовской с нулевым средним и ковариацией

.                     (10.1.4)

Совместная ФПВ случайных величин  при условии передачи последовательности , где , равна

.                       (10.1.5)

В пределе, когда число  наблюдаемых случайных величин становится неограниченным, логарифм  пропорционален метрикам , определяемые так

     (10.1.6)

Максимально-правдоподобные оценки символов  - это такие, которые максимизируют (10.1.6). Заметим, однако, что интеграл от  общий для всех метрик и, следовательно, его можно исключить. Второй интеграл, включающий , зависит от величины

.                     (10.1.7)

Эти величины можно генерировать, пропуская  через фильтр, согласованный с  и стробируя выход со скоростью . Отсчеты  образуют ряд достаточных статистик для вычисления  или, что эквивалентно, корреляционных метрик

,                       (10.1.8)

где, по определению,  - отклик согласованного фильтра на , a

.                       (10.1.9)

Таким образом,  представляет выход фильтра, имеющего импульсную характеристику  и вход . Другими словами,  представляет автокорреляционную функцию . Соответственно  представляют отсчёты автокорреляционной функции , взятые периодически через . Мы не интересуемся тонкостями построения фильтра, согласованного с , поскольку на практике мы можем ввести необходимую задержку, чтобы обеспечить реализуемость согласованного фильтра.

Если мы подставим для  в (10.1.2) соотношение (10.1.1) мы получим

,                         (10.1.10)

где  означает последовательность отсчётов аддитивного шума на выходе фильтра, т.е.

.                        (10.1.11)

Выходы демодулятора (согласованного фильтра) в моменты отсчёта искажены МСИ, как указано в (10.1.10). В любой практической системе разумно предположить, что МСИ влияет на ограниченное число символов. Таким образом, мы можем предположить, что  для . Следовательно, МСИ, наблюдаемую на выходе демодулятора, можно рассматривать как выход машины с конечным числом состояний. Это позволяет выход канала с МСИ представить диаграммой решётки, а оценки максимального правдоподобия информационной последовательности  определяются наиболее вероятным путём по решетке, при данной принятой на выходе демодулятора последовательности . Ясно, что алгоритм Витерби обеспечивает эффективный метод выполнения поиска по такой решётке.

Метрики, которые вычисляются при максимально правдоподобном последовательном оценивании (МППО, MLSE) последовательности , определены (10.1.8). Можно видеть, что эти метрики можно вычислить рекуррентно посредствам алгоритма Витерби согласно соотношению

.                       (10.1.12)

На рис.10.1.1 дана блок-схема оптимального приёмника для канала с МСИ и АБГШ.

Рис.10.1.1. Оптимальный приёмник для канала с АБГШ и МСИ