§ 83. Плоская монохроматическая волна

Уравнения Максвелла (77,2) для монохроматического поля гласят:

Эти уравнения сами по себе составляют полную систему, так как уравнения (77,1) следуют из них автоматически, и потому не должны рассматриваться отдельно. Предполагая среду однородной и исключив из этих уравнений Н (или Е), получим уравнение второго порядка

(и такое же уравнение для Н).

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в неограниченной однородной среде. В плоской волне в пустоте зависимость поля от координат дается множителем вида с вещественным волновым вектором к. При рассмотрении же распространения волн в материальных средах в общем случае оказывается необходимым вводить также и комплексные значения:

где — вещественные векторы.

Положив Е и Н пропорциональными и произведя в уравнениях (83,1) дифференцирование по координатам, получим

Исключив из этих двух соотношений Е или Н, найдем следующее выражение для квадрата волнового вектора:

Мы видим, что к может быть вещественным, только если вещественны и положительны. Но даже и в этом случае к может все же быть комплексным, причем только должно быть (с таким случаем мы встретимся при рассмотрении полного отражения, см. § 86).

Следует иметь в виду, что в общем случае комплексных к волна может быть названа «плоской» лишь в условном смысле. Написав

мы видим, что плоскости, перпендикулярные к вектору к, являются плоскостями постоянной фазы.

Плоскостями же постоянной амплитуды являются плоскости, перпендикулярные к вектору в направлении которого происходит затухание волны. Что же касается поверхностей постоянного значения самого поля, то они в общем случае вообще не будут плоскими. Такие волны называют неоднородными плоскими волнами, в отличие от обычных однородных плоских волн.

Связь между компонентами электрического и магнитного полей в общем случае дается формулами (83,3). В частности, умножив эти формулы скалярно на к, получим

а возводя какую-либо из них в квадрат и используя (83,4), найдем

Следует, однако, помнить, что ввиду комплексности всех трех векторов k, Е, Н эти соотношения в общем случае не имеют того наглядного смысла, который они имели бы для вещественных величин.

Не останавливаясь на громоздких соотношениях, получающихся в общем случае, рассмотрим наиболее важные частные случаи.

Особенно простые результаты получаются для волны, распространяющейся без затухания в непоглощающей (прозрачной) однородной среде. Волновой вектор в этом случае веществен и по величине равен

где называется показателем преломления среды. Как электрическое, так и магнитное поля лежат в плоскости, перпендикулярной к вектору к (чисто поперечная волна), причем перпендикулярны друг к другу и связаны соотношением

(-единичный вектор в направлении k). Отсюда следует, что

это, однако, не означает равенства электрической и магнитной энергий в волне (как в отсутствие дисперсии), поскольку последние даются другими выражениями (два члена в формуле (80,11)). Суммарную плотность электромагнитной энергии в этом случае можно привести к виду

Скорость и распространения волны в среде определяется известным выражением групповой скорости:

При этом , в соответствии с ее смыслом как скорости переноса энергии в волновом пакете; здесь U — плотность энергии, даваемая формулой (83,9), а

— среднее значение вектора Пойнтинга. В отсутствие дисперсии, когда показатель преломления не зависит от частоты, выражение (83,10) сводится просто к (ср. (75,13)).

Далее, рассмотрим более общий случай распространения электромагнитной волны в поглощающей среде, причем волновой вектор имеет определенное направление, т. е. параллельны друг другу. Такая волна является плоской в буквальном смысле, так как поверхностями постоянных значений поля в ней являются плоскости, перпендикулярные к направлению распространения (однородная плоская волна).

В этом случае можно ввести комплексную «длину» k волнового вектора согласно (где -единичный вектор в направлении к и ) и из (83,4) имеем Комплексную величину , обычно пишут в виде с вещественными и k, так что

(83,12)

Величину называют показателем преломления, а — коэффициентом поглощения среды; последний определяет скорость затухания волны по мере ее распространения. Подчеркнем, однако, что затухание волны не обязательно связано с наличием истинного поглощения; диссипация энергии имеет место лишь при комплексных или а коэффициент может быть отличным от нуля и при вещественных (отрицательных) .

Выразим величины через вещественную и мнимую части диэлектрической постоянной, предполагая при этом, что . Из равенства имеем

Решая эти уравнения относительно , получим

(83,13)

В частности, для металлов в области частот, где справедлива формула (77,9), мнимая часть велика по сравнению с вещественной частью и связана с проводимостью посредством пренебрегая по сравнению с найдем, что пик совпадают и равны (в согласии с (59,4))

(83,14)

Для связи между полями Е и Н в рассматриваемой однородной плоской волне снова получаем формулу (83,8), но только с комплексными Она снова показывает, что оба поля перпендикулярны к направлению распространения волны и друг к другу. Если , то написав в виде

мы видим, что магнитное поле по абсолютной величине превышает электрическое в раз, а по фазе отстает от него на угол в случае (83,14) сдвиг фаз равен