§ 52. Напряженность магнитного поля

Напишем выражение для ротора результирующего поля (51.1):

Согласно (49.9) , где j — плотность макроскопического тока. Аналогично ротор вектора В должен быть пропорционален плотности молекулярных токов:

Следовательно, ротор результирующего поля определяется формулой

Из (52.1) вытекает, что при вычислении ротора поля в магнетиках мы сталкиваемся с затруднением, аналогичным тому, с. которым мы столкнулись при рассмотрении электрического поля в диэлектриках (см. формулу (19.1)): для того чтобы определить ротор В, нужно знать плотность не только макроскопических, но также и молекулярных токов. Плотность же молекулярных токов в свою очередь зависит от значения вектора В. Путь, позволяющий обойти это затруднение, также аналогичен тому пути, которым мы воспользовались в § 19. Оказывается, можно найти такую вспомогательную величину, ротор которой определяется лишь плотностью макроскопических токов.

Чтобы установить вид этой вспомогательной величины, попробуем выразить плотность молекулярных токов через намагниченность магнетика J.

С этой целью вычислим алгебраическую сумму молекулярных токов, охватываемых некоторым контуром Г. Эта сумма равна

где — поверхность, натянутая на контур.

В алгебраическую сумму молекулярных токов входят только те молекулярные токи, которые оказываются «нанизанными» на контур (см. ток на рис. 52.1). Токй, не «нанизанные» на контур, либо не пересекают натянутую, на контур поверхность совсем, либо пересекают эту поверхность дважды — один раз в одном направлении, второй раз в другом (см. ток на рис. 52.1). В результате их вклад в алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром, оказывается равным нулю.

Рис. 52.1.

Рис. 52.2.

Из рис. 52.2 видно, что элемент контура образующий с направлением намагниченности J угол а, нанизывает на себя те молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра с объемом площадь, охватываемая отдельным молекулярным током). Если — число молекул в единице объема, то суммарный ток, охватываемый элементом равен Произведение равно магнитному моменту отдельного молекулярного тока. Следовательно, выражение представляет собой магнитный момент единицы объема, т. е. дает модуль вектора — проекцию вектора J на направление элемента Таким образом, суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом равен а сумма молекулярных токов, охватываемых всем контуром (см. (52.2)), равна

Преобразовав правую часть по теореме Стокса, полупим

Равенство, к которому мы пришли, должно выполняться при произвольном выборе поверхности . Это возможно лишь в том случае, если подынтегральные выражения равны в каждой точке магнетика:

Таким образом, плотность молекулярных токов определяется значением ротора намагниченности. В случае, когда молекулярные токи отдельных молекул ориентированы так, что их сумма в среднем равна нулю.

Формула (52.3) допускает следующую наглядную интерпретацию. На рис. 52.3 изображены векторы намагниченности в непосредственной близости к некоторой точке Р. Точка Р и оба вектора лежат в плоскости рисунка. Изображенный пунктиром контур Г также расположен в плоскости рисунка. Если характер намагниченности таков, что векторы J, и одинаковы по модулю, то циркуляция J по контуру Г будет равна нулю. Соответственно в точке Р также будет равен нулю.

Намагниченностям можно сопоставить молекулярные токи , текущие по контурам, изображенным на рис. 52.3 сплошными линиями. Эти контуры лежат в плоскости, перпендикулярной к плоскости рисунка. При одинаковом направлении векторов направления токов в точке Р будут взаимно противоположными. В силу токи одинаковы по величине, вследствие чего результирующий молекулярный ток в точке Р оказывается, как и равным нулю:

Теперь допустим, что Тогда циркуляция J по контуру Г окажется отличной от нуля. Соответственно поле вектора J в точке Р будет характеризоваться вектором направленным за чертеж. Большей намагниченности отвечает больший молекулярный ток; поэтому . В итоге в точке Р будет наблюдаться отличный от нуля результирующий ток, характеризуемый плотностью направленной так же, как и за чертеж. В случае векторы и J мол будут направлены не за чертеж, а на нас.

Итак, в точках, где отличен от нуля ротор намагниченности, оказывается отличной от нуля и плотность молекулярных токов, причем векторы и J МОЛ имеют одинаковое направление (см. (52.3)).

Подставим выражение (52.3) для плотности молекулярных токов в формулу (52.1):

Рис. 52.3.

Разделив это соотношение на и объединив вместе роторы, получим

Отсюда следует, что

есть искомая нами вспомогательная величина, ротор которой определяется одними лишь макроскопическими токами. Эта величина называется напряженностью магнитного поля. В соответствии с (52.4)

(ротор вектора Н равен вектору плотности макроскопических токов).

Возьмем произвольный контур Г с натянутой на него поверхностью S и образуем выражение

Согласно теореме Стокса левая часть этого равенства эквивалентна циркуляции вектора Н по контуру Г. Следовательно,

Если макроскопические токи текут по проводам, охватываемым контуром, соотношение (52.7) можно написать в виде

Формулы (52.7) и (52.8) выражают теорему о циркуляции вектора Н: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром.

Напряженность магнитного поля Н является аналогом электрического, смещения D. Первоначально предполагалось, что в природе имеются подобные электрическим зарядам магнитные массы, и учение о магнетизме развивалось по аналогии с учением об электричестве. В те времена и были введены названия: «магнитная индукция» для В и «напряженность поля» для Н. Впоследствии выяснилось, что магнитных масс в природе не существует и что величина, названная магнитной индукцией, в действительности является аналогом не электрического смещения D, а напряженности электрического поля Е (соответственно Н — аналогом не Е, а ).

Однако изменять уже установившуюся терминологию не стали, тем более, что вследствие различной природы электрического и магнитного полей (электростатическое поле потенциально, магнитное — соленоидально величины В и D обнаруживают много сходства в своем поведении (например, линии В, как и линии D, не претерпевают разрыва на границе двух сред).

В вакууме поэтому Н превращается в и формулы (52.6) и (52.8) переходят в формулы (49.9) и (49.7).

В соответствии с (42.5) напряженность поля прямого тока в вакууме определяется выражением

из которого следует, что напряженность магнитного поля имеет размерность, равную размерности силы тока, деленной на размерность длины. В связи с этим единица напряженности магнитного поля в СИ носит название ампер на метр (А/м).

В гауссовой системе напряженностью магнитного поля называют величину

(52.10)

Из этого определения следует, что в вакууме Н совпадает с В. В соответствии с этим единица Н в гауссовой системе, называемая эрстедом (Э), имеет, ту же величину и размерность, что и единица магнитной индукции — гаусс (Гс). По существу эрстед и гаусс суть разные названия одной и той же единицы. Если этой единицей измеряют Н, ее называют эрстедом, если измеряют В, то — гауссом.

Намагниченность принято связывать не с магнитной индукцией, а с напряженностью поля. Полагают, что в каждой точке магнетика

(52.11)

где — характерная для данного магнетика величина, называемая магнитной восприимчивостью. Опыт показывает, что для слабомагнитных (неферромагнитных) веществ при не слишком сильных полях не зависит от Н. Согласно (52.5) размерность Н совпадает с размерностью J. Следовательно, — безразмерная величина.

Подставив в формулу (52.5) выражение (52.11) для J, получим

откуда

Безразмерная величина

(52.13)

называется относительной магнитной проницаемостью или просто магнитной проницаемостью вещества.

В отличие от диэлектрической восприимчивости и, которая может иметь лишь положительные значения (поляризованность Р в изотропном диэлектрике всегда направлена по полю Е), магнитная восприимчивость х бывает как положительной, так и отрицательной. Поэтому магнитная проницаемость может быть как больше, так и меньше единицы.

С учетом (52.13) формуле (52.12) можно придать вид

(52.14)

Таким образом, напряженность магнитного поля Н есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор В, но в раз меньший по модулю (в анизотропных средах векторы Н и В, вообще говоря, не совпадают по направлению).

Соотношение (52.11), связывающее векторы J и Н, имеет точно такой вид и в гауссовой системе. Подставив это выражение в формулу (52.10), получим

откуда

(52.15)

Безразмерная величина

(52.16)

называется магнитной проницаемостью вещества. Введя эту величину в формулу (52.15), получим

(52.17)

Значение в гауссовой системе совпадает со значением в СИ. Сопоставление формул (52.13) и (52.16) показывает, что значение магнитной восприимчивости в СИ превосходит в раз значение в гауссовой системе:

(52.18)