§ 105. Плоская электромагнитная волна

Исследуем плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в нейтральной непроводящей среде с постоянными проницаемостями ). Направим ось х перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда Е и Н, а значит, и их компоненты по координатным осям не будут зависеть от координат у к z. Поэтому уравнения (71.5) — (71.8) упрощаются следующим образом:

(105.1)

Уравнение (105.4) и первое из уравнение (105.3) показывают, что не может зависеть ни от х, ни от t. Уравнение (105.2) и первое из уравнений (105.1) дают такой же результат для Следовательно, отличные от нуля могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на электромагнитное поле волны. Само поле волны не имеет составляющих вдоль оси х. Отсюда вытекает, что векторы Е и Н перпендикулярны к направлению распространения волны, т. е. что электромагнитные волны поперечны. В дальнейшем мы будем предполагать постоянные поля отсутствующими и полагать

Два последних уравнения (105.1) и два последних уравнения (105.3) можно объединить в две независимые группы:

Первая группа уравнений связывает компоненты вторая — компоненты и . Допустим, что первоначально было создано переменное электрическое поле направленное вдоль оси у. Согласно второму из уравнений (105.5) это поле создаст магнитное поле направленное вдоль оси z. В соответствии с первым уравнением (105.5) поле создаст электрическое поле и т. д. Ни поле ни поле Ну при этом не возникают. Аналогично, если первоначально было создано поле то согласно уравнениям (105.6) появится поле , которое возбудит поле и т. д.

В этом случае не возникают поля Таким образом, для описания плоской электромагнитной волны достаточно взять одну из систем уравнений (105.5) или (105.6), положив компоненты, фигурирующие в другой системе, равными нулю.

Возьмем для описания волны уравнения (105.5), положив . Продифференцируем первое уравнение по и произведем замену: Подставив затем из второго уравнения, получим волновое уравнение для

(мы заменили через ). Продифференцировав по второе из уравнений (105.5), найдем после аналогичных преобразований волновое уравнение для

Полученные уравнения представляют собой частный случай уравнений (104.8) и (104.9).

Напомним, что так что . Мы сохранили в уравнениях (105.7) и (105.8) индексы у и z при Е и Н, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что векторы Е и Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z. Простейшим решением уравнения (105.7) является функция

(105.9)

Решение уравнения (105.8) имеет аналогичный вид:

(105.10)

В этих формулах со — частота волны, k — волновое число, равное — начальные фазы колебаний в точках с координатой

Подставим функции (105.9) и (105.10) в уравнения (105.5):

Для того чтобы уравнения удовлетворялись, необходимо равенство начальных фаз Кроме того, должны выполняться соотношения

Перемножив эти два равенства, найдем, что

Таким образом, колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой а амплитуды этих векторов связаны соотношением

Для волны, распространяющейся в вакууме,

(105.13)

В гауссовой системе формула (105.12) имеет вид

Следовательно, в вакууме измеряется в СГСЭ-единнцах, — в СГСМ-единицах).

Умножив уравнение (105.9) на орт оси у (Еуеу а уравнение (105.10) на орт оси Н), получим уравнения плоской электромагнитной волны в векторном виде:

(105.14)

(мыположили ).

На рис. 105.1 показана «моментальная фотография» плоской электромагнитной волны. Из рисунка видно, что векторы Е и Н образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. В фиксированной точке пространства векторы Е и Н изменяются со временем по гармоническому закону. Они одновременно увеличиваются от нуля, затем через Д периода достигают наибольшего значения, причем, если Е направлен вверх, то. Н направлен вправо (смотрим вдоль направления, по которому распространяется волнз). Еще через периода оба вектора одновременно обращаются в нуль. Затем опять достигают наибольшего значения, но на этот раз Е направлен вниз, а Н влево. И, наконец, по завершении периода колебания векторы снова обращаются в нуль. Такие изменения векторов Е и Н происходят во всех точках пространства, но со сдвигом по фазе, определяемым расстоянием между точками, отсчитанными вдоль оси х.

Рис. 105.1.