VI.2. Неограниченный рост

Снятие селекционных ограничений приводит к новой системе дифференциальных уравнений

описывающей ситуацию, которая впредь будет называться «неограниченным ростом». Эта терминология характеризует систему в целом; индивидуальные члены могут при этом распадаться или находиться в стационарном состоянии.

Допустим, что мы можем представить в виде полинома, переменные которого суть концентрации (полиномом можно аппроксимировать также иррациональные выражения или отношения полиномов). Тогда в обычно можно выделить ведущие члены, которые будут доминировать в определенной области концентраций. Как правило, эти ведущие члены являются просто одночленами данной степени Они-то и определяют динамическое поведение системы.

Рис. 17 иллюстрирует простой случай Стандартные решения были нормированы так, чтобы Как указано в подписи к рисунку, все семейство интегральных кривых можно

(кликните для просмотра скана)

разделить на три класса, располагающихся в разных областях диаграммы концентрация — время. Рассмотрим три типичных случая, которые представляют для нас особый интерес (см. табл. 6).

1. Кривая 1 характеризует систему с постоянной (положительной) скоростью роста. Популяционная переменная растет линейно во времени. Эта кривая является также примером семейства кривых из области В, которые растут до бесконечности за бесконечное время. Обычным примером такого рода может служить реакция необратимого образования вещества при постоянных концентрациях реагента. Если популяции самовоспроизводящихся видов в экологических нишах, добывающие пищу из независимых источников, растут со скоростью, соответствующей постоянному притоку питательных веществ или постоянной скорости их образования, то они тоже являются примерами систем, скорость роста которых не зависит от размеров популяции.

2. Кривая 2 соответствует случаям, когда скорости роста линейно зависят от популяционной переменной, и соответствует экспоненциальному росту х в зависимости от типичному для дарвиновского поведения (часть А). Кроме того, кривая 2 разграничивает области В а С, т. е. функции, которые достигают бесконечности за бесконечное и за конечное время соответственно.

3. Наконец, кривая 3 представляет собой пример функции с сингулярностью при конечном значении времени В этом частном случае предполагается, что скорость роста пропорциональна квадрату популяционной переменной.

Всю область С можно охарактеризовать как область «гиперболического роста». Конечно, в любом реальном и конечном мире популяция не может расти до бесконечности — это обусловлено конечностью имеющихся ресурсов. Однако свойства, от которых зависит существование гипотетической сингулярности, будут все-таки приводить к поведению, совершенно не похожему на то, с чем мы сталкиваемся в дарвиновских системах,

Здесь мы можем дать более общее определение «степени» функций роста, которое окажется полезным для классификации. Как и прежде, степень ведущего члена функции роста Тогда -мерную динамическую систему можно характеризовать множеством значений . В том случае, когда степени одинаковы:

мы будем называть систему «чистой». В противном случае мы имеем дело со «смешанными» системами, которые можно классифицировать в соответствии с распределениями их значений Очевидно, что «чистые» системы исследовать значительно легче, чем «смешанные».