VIII.2. Численное интегрирование

Системы дифференциальных уравнений для элементарных гиперциклов с размерностями до интегрировались помощью стандартных численных методов. Соответствующие интегральные кривые рассматривались в предыдущей работе [4], и их можно не приводить снова, так как здесь нас интересует другой аспект проблемы. Теперь наша цель — поиск устойчивых аттракторов внутри симплексов которые гарантируют кооперативное поведение компонентов. Соответствующее исследование многообразия траекторий достаточно просто.

Дифференциальные уравнения для траекторий получаются исключением явной временной зависимости из исходной

Рис. 33. Траектория динамической системы 3 для элементарного гиперцикла размерности показана в виде проекции на плоскость Начальные условия:

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

динамической системы:

Интегрирование этой новой -мерной динамической системы дает траектории (интегральные кривые):

Итак, траектория — это кривая в -мерном пространстве концентраций. Для графического представления мы будем использовать проекции этих кривых на плоскости Траектории для гиперциклов малой размерности отражают уже известные свойства этих динамических систем. Случай довольно тривиален: имеются только две орбиты, которые сходятся к центральному устойчивому фокусу (рис. 30). Траектории трехмерного гиперцикла являются спиралями, которые быстро сходятся к центральной особой точке (рис. 33). Этот вид траекторий соответствует сильно затухающим колебаниям интегральных кривых Четырехчленный гиперцикл следует рассмотреть подробнее. Траектории снова идут по спирали в центр симплекса (рис. 34, А, Б). В отличие от трехмерного случая, направленная к центру сила намного слабее вращательного компонента. Соответственно сходимость к центральной особой точке крайне слабая. Проекция этой траектории на плоскость прекрасно иллюстрирует полученный ранее результат: отсутствие траекторий в плоскости . Действительно, как можно видеть на рис. 34,5, траектории проходят вблизи седловидной изогнутой поверхности.

Для основных гиперциклов размерности центральная особая точка представляет собой неустойчивое седло. На границе стока, и, следовательно, нужно ожидать наличия устойчивой замкнутой траектории. Однако соответствующие методы исследования пока не разработаны в достаточной степени и не позволяют доказать существование подобного аттрактора внутри симплекса. Поэтому мы должны полагаться на численные результаты.

Рис. 35. Интегральные кривые динамической системы, соответствующей элементарному гиперциклу размерности с неравными константами скоростей начальные условия: полная концентрационная шкала единице концентрации, полная временная шкала единиц времени]. Отметим, что концентрация I, (компонент, предшествующий самой быстрой стадии) оказывается наименьшей, а концентрация 14 (компонент, предшествующий самой медленной стадии) — наибольшей.

Численное интегрирование действительно убедительно указывает на существование предельного цикла, или замкнутой траектории. Начиная движение из различных точек, очень близких к центру, грани, ребру или вершине симплекса, мы всегда через достаточно большое время приходим к одному и тому же предельному циклу. На рис. показаны две типичные траектории для элементарных гиперциклов размерности Как можно убедиться из сравнения этих двух рисунков, при увеличении предельный цикл все ближе подходит к контуру о котором говорилось в предыдущем разделе. Следовательно, колебания отдельных концентраций становятся все более и более похожи на прямоугольные импульсы.

Использование численных методов позволяет также снять ограничение Были проведены вычисления для динамических систем с размерностями и с произвольными значениями Оказалось, что общий характер интегральных кривых не изменился. Типичные примеры приведены на рис, 35 и 36, В обеих системах отдельные концентрации

Рис. 36. Интегральные кривые динамической системы, соответствующей элементарному гиперциклу размерности с неравными константами скоростей начальные условия: полная концентрационная шкала единице концентрации, Полная временная шкала единип времени]. Отметим, что концентрация 15 (компонент, предшествующий самой быстрой стадии) оказывается наименьшей, а концентрация I, (компонент, предшествующий самой медленной стадии) — наибольшей.

колеблются. Для концентрационные волны затухают и динамическая система приближается к центральной особой точке. Ее координаты определяются следующими уравнениями:

Пятичленные гиперциклы с неравными константами скоростей дают такие же незатухающие концентрационные импульсы, как и в случае систем с равными значениями Однако величина импульсов теперь не одинакова для всех компонентов. Средние по времени концентрации [определенные по формуле (67)] удовлетворяют уравнению (72), которое определяет положение (неустойчивой) центральной особой точки. Соответственно для тех видов, которые предшествуют стадии с относительно малой константой скорости, импульсы оказываются широкими, а для

видов, предшествующих относительно быстрой реакционной стадии, — малыми по ширине и высоте. Итак, система регулирует концентрации своих компонентов таким образом, чтобы оптимизировать суммарную скорость продукции.

Гиперциклы большей размерности (я 5) не остаются в устойчивых состояниях с постоянными стационарными концентрациями, а обнаруживают волнообразные колебания вокруг неустойчивой особой точки в центре. Тем не менее поведение компонентов является кооперативным, поскольку их концентрации регулируются динамикой всей системы, и ни одна популяционная переменная не обращается в нуль.

Динамические системы, соответствующие элементарным гиперциклам, имеют один и только один аттрактор внутри симплекса, бассейн которого распространяется на всю область положительных (ненулевых) концентраций всех компонентов. При малой размерности аттрактор является асимптотически устойчивой особой точкой, а именно фокусом для и спиральным стоком для . В системах с большей размерностью численное интегрирование убедительно указывает на существование устойчивого предельного цикла. Итак, все элементарные гиперциклы характеризуются кооперативным поведением компонентов.

Благодаря своим динамическим особенностям гиперциклы этого типа таят в себе множество еще не исследованных возможностей для самоорганизации (например, диссипативные структуры, если добавить сюда явления переноса). Они могут также играть важную роль в самоорганизации нервных сетей.