VI.4. Внутреннее уравновешивание в растущих системах

Хотя условие постоянной организации значительно упрощает исследование динамической системы, при этом мы ограничиваемся системами с нулевым чистым ростом. В данном разделе мы попытаемся расширить круг рассматриваемых систем. Основная проблема состоит в том, чтобы найти, каким образом и при каких условиях можно делать предсказания о поведении растущих систем, основываясь на результатах, полученных из анализа соответствующих стационарных состояний. Для этой цели мы введем неспецифические селекционные ограничения [уравнение (34)], зависящие от времени:

Функция либо функция может быть выбрана произвольно. Однако после этого вторая функция определяется следующим дифференциальным или соответственно интегральным уравнением:

Теперь следует ввести нормированные популяционные переменные Тогда дифференциальные уравнения можно привести к следующему виду:

Нетрудно убедиться, что в явном виде не зависит от селекционого ограничения Существует, однако, неявная зависимость через Поэтому сделаем в нашем общем исследовании еще один рассмотрев несколько простых примеров. Допустим, что функции чистого роста имеют одну и ту же степень по х. Хотя это условие кажется очень жестким, мы увидим, что почти все наши основные модельные системы с ним согласуются, по крайней мере при определенных граничных условиях. Однородность по х ведет к тому же условию, что и требование определенной степени в системе с неограниченным ростом (см. разд. 1.5). Теперь преобразование переменных становится тривиальным:

и мы получаем следующие кинетические уравнения:

Вид этих уравнений сразу же позволяет сделать два важных вывода. При т. е. для дарвиновской

системы, рассмотренной в части А, зависимость от с исчезает, и если использовать относительные популяционные переменные то не только поведение растущих и стационарных систем при но и интегральные кривые будут идентичны.

Если то поведение при будет таким же, как и для стационарной системы при постоянной организации, если только не обращается ни в нуль, ни в бесконечность. Итак, для всех реалистических систем с однородными функциями чистого роста результаты исследования особых точек в -пространстве, которые мы получим в следующем разделе, будут верны и для случая растущих популяций.

Последний результат можно распространить и на другие классы функций роста, как будет показано в разделе, посвященном исследованию особых точек. Внутреннее уравновешивание чрезвычайно упрощает анализ сложных динамических систем. Во многих случаях результаты становятся идентичны или подобны тем, которые получены для стационарных условий. Если нас интересует селекционное поведение системы, то это именно те условия, которые имеет смысл рассматривать. В следующем разделе мы проанализируем более подробно различные динамические системы, находящиеся при этих условиях.