VII.3. Адекватное пространство: симплекс концентраций

Концентрационные переменные, или численности популяций, образуют -мерное открытое пространство лишь часть которого имеет физический смысл:

Все концентрационные переменные можно просуммировать; сумма представляет собой неотрицательную и конечную общую концентрацию с:

которая используется для нормировки:

Благодаря свойствам своих переменных можно изоморфно отобразить на единичный симплекс для каждого данного значения Соответствующее пространство будет обозначаться

Единичный симплекс это правильный многогранник с вершинами в соответствующем

Рис. 20. (см. скан) Диаграмма А изображает симплекс а диаграмма о показывает, как симплекс вписывается в пространство концентраций, имеющих физический смысл. некоторых точек указаны соответствующие суммарные концентрации или координаты и (в скобках).

-мерном подпространстве, определенном условием Ребра симплекса имеют единичную длину и представляют собой координатные оси для переменных В качестве иллюстрации на рис. 20

Рис. 21. Точки, положения которых удовлетворяют характерным зависимостям от суммарной концентрации в пространстве концентраций и на симплексе и Стрелки на А показывают, куда движутся точки при увеличении суммарной концентрации (заметим, что все множество точек, у которых все координаты пропорциональны например, отображаются в одну и ту же точку на

показан симплекс Диаграммы на знакомы химикам по изображениям тройных систем. Вследствие уравнения (46) динамическая система на единичном симплексе потеряла одну степень свободы по сравнению с Другими словами, переменные из-за нормировки всегда относятся к фиксированному значению и тем самым вводится одна линейная зависимость между переменными.

Наконец, мы хотели бы подчеркнуть различие между картами на и которое становится очевидным при сравнении результатов, полученных для различных значений Размеры симплекса фиксированы вследствие нормировки, тогда как размеры области концентраций имеющей физический смысл, варьируют с Положения и нормальные моды особых точек в общем случае также будут зависеть от . Для полного описания

асимптотического поведения динамической системы необходимо построить карту особых точек, которые сами являются «функциями» суммарной концентрации Положения многих особых точек, как мы увидим дальше, зависят от концентраций очень просто: их координаты пропорциональны При изменении суммарной концентрации эти точки движутся вдоль прямых, проходящих через начало координат в (см. рис. 21), и, следовательно, их образами являются отдельные точки в Соответственно карта особых точек в целом становится намного проще, Эта формальная зависимость карты особых точек от значения суммарной концентрации Со будет иметь особое значение при анализе растущих систем.

Высокосимметричная часть определенной -мерной гиперплоскости, погруженной в n-мерное пространство концентраций, называется единичным симплексом. Пример симплекса в трехмерном пространстве дан на рис. 20. Единичный симплекс включает в себя всю область концентраций, имеющую физический смысл, и более всего пригоден для графического представления процессов отбора.