VII.2. Топологические свойства

Пусть мы имеем карту горной страны (рис. 18) и хотим составить приблизительное представление об этом трехмерном ландшафте; такое представление дают нам линии уровня на двумерной карте. Это именно тот тип задач, с которыми имеет дело исследование особых точек. Ландшафт соответствует потенциальной поверхности, по которой движется динамическая система. В большинстве случаев полного знания этой потенциальной поверхности не требуется, и поэтому «карта особых точек» оказывается намного проще топографической карты, используемой нами для ориентации в незнакомой местности. «Карта особых точек» указывает положения лишь локально самых высоких и самых низких точек — таких, как горные вершины, перевалы и впадины, которые здесь называются источниками, седлами и стоками. Это особые точки потенциального поля. Часто на карту бывает необходимо нанести и гребни — линии, отделяющие долины друг от друга (рис. 18) и называемые поэтому «сепаратрисами». Карта особых точек, включающая сепаратрисы, позволяет предсказать, куда приведет траектория, которая начинается в данной точке на карте. Траектории — это линии наиболее

(кликните для просмотра скана)

крутого спуска, по которым на местности будет следовать текущая вода. Однако гравитационное потенциальное поле у поверхности земли проще, чем те поля, с которыми мы сталкиваемся в самоорганизующихся динамических системах. В то время как вода, текущая по земле, всегда достигает стока — например, озера — самоорганизующиеся динамические системы могут проявлять более сложное поведение. Например, существует ситуация — предельные циклы, — когда (на языке нашей иллюстрации) вода не останавливается в определенной точке, а бесконечно циркулирует вдоль замкнутой кривой, которая определяется формой потенциального поля. Были описаны даже еще более странные ситуации, которые математики действительно называют «странными аттракторами»,- они представляют собой нечто вроде непериодических орбит. Аттрактор — более общее понятие, нежели сток. В эту категорию включаются не только стоки, но и устойчивые замкнутые орбиты и непериодические орбиты.

На карте особых точек вся рассматриваемая поверхность может быть разделена на ряд областей, обычно называемых бассейнами, которые связаны с отдельными аттракторами. Границы этих областей являются сепаратрисами. Итак, из всех точек бассейна вода течет к одному и тому же аттрактору, который, конечно, должен находиться внутри этой области.

Теперь мы перейдем на более точный математический язык и охарактеризуем те величины и выражения, которые нам будут необходимы для дальнейшего обсуждения. Особые, или стационарные, точки динамической системы определяются как такие точки, в которых все концентрации или популяционные переменные постоянны во времени. Следовательно, первые производные по времени обращаются в нуль:

тем самым определяются положения всех особых точек, принадлежащих данной динамической системе. Когда все случайные флуктуации популяционных

Рис. 19. Символы, использующиеся для классификации различных особых точек. Класс 1 — устойчивые особые точки, или стоки. Класс 2 — седловые точки. Класс 3 — источники. Класс 4 — неустойчивые особые точки, в том числе точки, собственные значения которых имеют нулевые действительные части. Эти примеры относятся к двумерной динамической системе.

переменных полностью подавлены, интегрирование уравнений динамической системы, «стартующей» из особой точки, дает независимые от времени постоянные популяции. Реакция системы на малые изменения концентраций в окрестности данной особой точки является великолепной основой для классификации этих точек. Эта реакция системы может быть описана при помощи множества нормальных мод, характеризующихся обратными постоянными времени собственными значениями системы линейных дифференциальных уравнений, которая является наилучшей аппроксимацией нелинейной системы в окрестности рассматриваемой точки (разд. VII.4). Соответственно можно выделить четыре основных класса особых точек:

1. Устойчивые особые точки, или стоки, т. е. локально наиболее низкие точки. Все собственные значения (Ой имеют отрицательные действительные части, и, следовательно, флуктуации по всем возможным

направлениям в пространстве концентраций компенсируются внутренней противодействующей силой. В химии стоки соответствуют химическим равновесиям в замкнутых системах и устойчивым стационарным состояниям в открытых термодинамических системах.

2. Седловые точки, для которых хотя бы одно направление является неустойчивым. Здесь по крайней мере одно значение должно иметь положительную действительную часть. Следовательно, небольшое возмущение или флуктуация в этом направлении приводят к возникновению силы, стремящейся увеличить флуктуацию. В результате динамическая система будет удаляться от седловой точки.

3. Источник — локально наиболее высокая точка. Он отличается от седла только тем, что неустойчив по всем направлениям. Все значения имеют положительные действительные части.

4. Еще один класс особых точек, которые не поддаются полному исследованию в рамках линейной теории. Некоторые частоты имеют нулевые действительные части, и их природа может меняться в зависимости от вклада нелинейных членов. Примером такого рода служат центры, которые характеризуются чисто мнимыми собственными значениями. Траектории в окрестности центра представляют собой многообразие концентрических орбит. С такими ситуациями мы встретимся в данной работе.

По истечении «достаточно большого» времени (т. е. времени, много большего, чем максимальная постоянная времени динамической системы) каждая реалистическая динамическая система (т. е. система без внешнего подавления флуктуаций) достигнет аттрактора. Следовательно, результат отбора будет всегда совпадать с аттрактором в пространстве концентраций.

Окончательный результат процесса отбора соответствует либо устойчивому стационарному состоянию, либо непрерывно и периодически изменяющемуся семейству состояний. В некоторых особенно редких ситуациях могут происходить, кроме того,

непериодические изменения в пределах определенного множества состояний. Для характеристики всех этих устойчивых или квазиустойчивых конечных ситуаций в дифференциальной топологии используют общий термин - «аттрактор» динамической системы, куда включаются устойчивые точки, замкнутые орбиты и апериодические кривые. Внутри данного бассейна результатом процесса отбора является достижение одного и того же аттрактора, независимо от конкретных начальных условий.