IX.3. Численные решения

Дифференциальные уравнения для каталитических гиперциклов с учетом в явном виде процесса образования комплекса между полинуклеотидами и полипептидами трудно исследовать аналитическими методами из-за иррациональности соответствующих выражений. В этих случаях численное интегрирование сопряжено с большими затратами времени, но тем не менее оно является единственным источником информации о свойствах этих динамических систем. Для иллюстрации динамики полинуклеотидно-полипептидных гиперциклов мы приведем графики решений, полученных с помощью ЭВМ, а также фазовые траектории. По сравнению с элементарными гиперциклами полинуклеотидно-полипептидные системы содержат новый класс параметров, а именно константы ассоциации комплексов Как и следовало ожидать из различий в кинетическом поведении при нижнем и верхнем концентрационных пределах, константы равновесия оказывают решающее влияние на

динамические свойства системы. С целью систематического исследования мы уменьшим число независимых параметров. Допущения здесь будут в основном те же, что и для элементарных гиперциклов: все константы скоростей для репликации полинуклеотидов Для их трансляции в полипептиды а также все константы ассоциации предполагаются равными. Затем мы исследуем влияние К на свойства динамической системы при фиксированных значениях для постоянного множества начальных концентраций. Для гиперциклов размерности п.4 интегральные кривые через достаточно большое время приближаются к устойчивому стационарному состоянию. Отдельные концентрации могут испытывать затухающие колебания. Динамика этих систем в сущности такая же, как и для гиперциклов с большими значениями и малыми константами равновесия.

Динамика гиперциклов большей размерности сложнее. Асимптотическое поведение системы изменяется с увеличением константы равновесия К. Ниже определенного критического значения система сходится к устойчивым стационарным состояниям, тогда как при ббльших значениях наблюдаются предельные циклы. По виду интегральных кривых и траекторий мы различаем четыре случая. Рассмотрим их в порядке увеличения константы равновесия .

1. При малых значениях К динамическое поведение качественно такое же, как и для гиперциклов меньшей размерности. Интегральные кривые обнаруживают сильно затухающие колебания (рис. 38), а траектории быстро сходятся по спирали в центр — устойчивое стационарное состояние (рис. 39).

2. Общий тип динамического поведения в принципе такой же, как и в случае 1. Однако колебания затухают теперь слабо и приближение к стационарному состоянию становится крайне медленным (рис. 40,А, Б). Эта ситуация совершенно не похожа на случай 1, потому что члены, описывающие

Рис. 38. Интегральные кривые динамической системы, соответствующей гиперциклу с трансляцией. Размерность начальные условия: полная концентрационная шкала единицам концентрации, полная временная шкала единиц времени. Значение константы равновесия К находится ниже критического уровня для бифуркации Хопфа; следовательно, наблюдаются затухающие колебания.

затухание, не появляются при исследовании нормальных мод, а требуют учета нелинейных вкладов. Феноменологически этот факт проявляется в том, что сначала амплитуды колебаний (почти) постоянны. Такая ситуация возникает, когда константа равновесия К немного меньше критического значения

3. При значениях К, немного превышающих критическую константу равновесия наблюдается интересное явление. Поведение динамической системы сначала во многом похоже на случай 2. Отдельные концентрации колеблются с относительно малыми амплитудами, но в противоположность случаю 2 амплитуды вначале немного растут. Однако вслед за этой фазой синусоидальных колебаний волны концентрации резко меняют свою форму и частоту (рис. 40, В, Г), а затем становятся очень похожими на прямоугольные импульсы, с которыми мы встречались при рассмотрении основных гиперциклов

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

высокой размерности. Наконец, динамическая система приближается к предельному циклу.

4. При больших значениях К отдельные концентрации колеблются с возрастающей амплитудой, и динамическая система неуклонно приближается к предельному циклу (рис. 40, Д, Е). Такой тип изменения динамического поведения при непрерывном изменении параметра известен из литературы как бифуркация Хопфа [58]. Характерное замедление сходимости к асимптотическому решению, обнаруженное в случаях 2 и 3, было описано также и для других динамических систем; его обычно называют «критическим замедлением» при бифуркации Хопфа. В случае гиперциклов «замедление» вблизи критического значения К становится более выраженным с увеличением . В пятичленном цикле явления, соответствующие случаю 3, едва заметны. С другой стороны, каталитический цикл при имеет гораздо более длительный начальный период (о котором говорилось в п. 3), чем шестичленная система (рис. 41). Начальная фаза синусоидальных колебаний подобна метастабильному колебательному состоянию. Переход к конечному предельному циклу

Рис. 41. Интегральные кривые динамической системы, соответствующей гиперциклу с трансляцией. Размерность начальные условия: полная концентрационная шкала единицам концентрации, полная временная шкала единиц времени. Выбранное значение константы равновесия немного выше критического уровня бифуркации Хопфа. Наблюдается метастабильное колебательное состояние, которое резко переходит в конечный предельный цикл с его характерными концентрационными волнами.

с ростом становится более резким и четко выражен для десятичленного гиперцикла.

Все изученные полинуклеотидно-полипептидные гиперциклы имеют аттрактор внутри области значений концентраций, имеющей физический смысл. Они характеризуются кооперативным поведением своих компонентов. В зависимости от значения произведения полных концентраций и на константы ассоциации а также от размера гиперцикла наблюдаются устойчивые особые точки или предельные циклы. При этом малые значения К «комплементарны» высоким концентрациям и vice versa. Асимптотическое поведение при нижнем и верхнем концентрационных пределах, полученное численным интегрированием, полностью согласуется с предсказаниями, основанными на анализе, проведенном в последнем

разделе. Одно из основных упрощений, касающееся квазистационарности полипептидного синтеза, может быть проверено непосредственно изучением проекций траекторий на плоскость . В приближении стационарности должны получиться прямые. Как можно видеть из рис. 39, Б и 40, Б, Г, Е, пропорциональность двух концентраций примерно соблюдается, так что упрощенное рассмотрение, по-видимому, вполне оправдано. Целью численного анализа этого сложного реакционного механизма фактически была проверка эквивалентности сложного и элементарного гиперциклов в отношении их способности к самоорганизации. Таким образом, выводы, полученные на элементарных системах, справедливы также для всех типов реалистических гиперциклов с более сложной структурой (см. часть В).