VII.4. Исследование нормальных мод

Начиная исследование общей системы линейных дифференциальных уравнений, мы сначала должны определить особые точки из условия Для прямого исследования динамической системы важно знать все особые точки в исследуемой области. Однако в общем случае этой информации недостаточно. Траектории -мерной динамической системы часто заканчиваются в стоках. Однако могут существовать устойчивые замкнутые орбиты или странные аттракторы, о существовании которых можно судить на основании тщательного исследования природы областей, окружающих особые точки, и исследования векторных полей. Например, устойчивые предельные циклы в двух измерениях удается идентифицировать с помощью карт Пуанкаре. Информацию о природе особых точек можно получить в результате исследования нормальных мод.

Для этой цели динамическую систему линеаризуют в окрестности данной особой точки

Новые переменные определяются следующим образом:

Коэффициенты являются. элементами матрицы Якоби определенной в особой точке

Поскольку по определению особой точки, линеаризованная система дифференциальных уравнений дается следующим выражением:

Обратные постоянные времени, соответствующие нормальным модам, получаются теперь как собственные значения матрицы А. Собственные векторы определяются в виде соответствующих линейных комбинаций концентрационных переменных:

В общем случае являются комплексными величинами и определяют тип особой точки; наиболее важные типы были уже приведены на рис. 19.

Если матрица А не является сингулярной, устойчивая особая точка линеаризованной системы (51) почти во всех случаях соответствует устойчивой особой точке нелинейной системы [51]. Существуют, однако, некоторые важные исключения центр для линейной системы в нелинейном случае может стать спиральным стоком и vice versa. Примером поведения такого типа служит знаменитая модельная система Лотки — Вольтерра [52]. В разд. VIII. 1 мы встретимся еще с одним примером — гиперциклом размерности

Если для данной динамической системы получается несколько устойчивых особых точек, предельных циклов или других аттракторов, то желательно также определить бассейны, для которых аттракторы являются пределами траекторий при Индивидуальные бассейны отделяются друг от друга сепаратрисами, которые в принципе можно определить интегрированием в обратном направлении начиная с седловых точек и следуя линиям крутого спуска. Если для данной динамической системы известны все устойчивые особые точки и другие аттракторы, а также их бассейны, то мы можем предсказать результат процесса отбора, начинающегося с любой точки в данном пространстве концентраций.

В некоторых случаях мы можем получить Тогда линеаризация в окрестности особой точки не даст достаточной инфориации, и для полной характеристики необходимо вернуться к нелинейной динамической системе. Часто прямое исследование векторного поля в окрестности особой точки оказывается не очень трудным и дает нужные результаты.

Определение нормальных мод является существенной частью исследования особых точек. Оно представляет собой исследование траекторий динамической системы в малой окрестности особой точки, В большинстве случаев достаточно охарактеризовать устойчивость особой точки. Однако используемая при этом линейная аппроксимация иногда может не давать достаточной информации, и в таком случае требуются более тонкие методы анализа.