ГЛАВА II. АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ И ШУМЫ

1. Комплексный спектр положительных и отрицательных частот

Исключительно важное значение для математических методов, применяемых в радиоэлектронике, имеет техника частотно-временного анализа. Можно заметить по этому поводу, что интегралы и ряды Фурье занимают центральное место в мышлении радиоинженеров единственно в силу того, что мы часто ограничиваемся рассмотрением линейных систем, не зависящих от времени, причем мы сознаем, что на практике это ограничение налагается чаще умышленно, чем по необходимости. Но как бы то ни было математическая литература по теории информации, радиотехнике и радиолокации едва ли может быть доступна тому, кто не владеет до известной степени частотно-временным анализом. Некоторые его основные теоремы и методы коротко изложены в этой главе.

Выходное колебание линейной системы, не изменяющейся со временем, является сверткой входного сигнала и отклика системы на единичный импульс. Предположим, что если на вход подано на выходе получается Тогда вход — будет давать выход Любой входной сигнал может быть выражен как сумма или интеграл импульсов, появляющихся в моменты и имеющих величину

и так как система линейна, мы получим выходное колебание заменив каждый импульс тем откликом, который он вызывает

Это выражение есть свертка встречавшееся в первой главе. Этот общий метод обычно называется принципом суперпозиции.

Мы видели в первой главе, что свертка двух функций может быть вычислена путем перемножения их Фурье-сопряженных и затем обратного преобразования. Везде в дальнейшем изложении

Фурье-сопряженная от функции будет обозначаться соответствующей заглавной буквой. Формулы прямого и обратного преобразования принимают при этом такой вид:

В теории вероятностей, когда случайная величина, является характеристической функцией для и; в анализе колебаний, когда время называется комплексным частотным спектром; в чистой математике являются просто парой Фурье-сопряженных. Возвращаясь к простой линейной системе, можно записать связь между выходом входом и откликом на единичный импульс в виде одного из двух равенств

Иногда проще пользоваться одной, иногда другой формулой; в этом и состоит польза преобразования. Как иллюстрацию первой формулы мы можем рассмотреть тривиальную задачу нахождения отклика простого RC-контура на прямоугольный импульс. Он уже был вычислен, оказывается, в гл. I: реакция на единичный импульс есть затухающая экспонента, ее свертка с импульсом показана на рис. 5.

Прямым способом нахождения комплексного спектра заданной функции времени является, разумеется, подстановка ее в интеграл (4), но на практике оказывается, что некоторые функции встречаются так часто, что имеет смысл запомнить их спектры. Удобно далее (это полезно и для других целей) иметь ряд правил приведения сходных функций к той форме, которую мы запомним. Правила, приведенные в приложенной таблице, употребляются настолько часто, что большинство тех, кто занимается «математикой контуров», знает их наизусть.

Частотный спектр, даваемый интегралом Фурье, является естественно комплексной функцией от и охватывает все положительные и отрицательные частоты. Однако, если чисто действительно, т. е. если и изображает отдельное колебание, а не пару колебаний, то спектр будет четный по амплитуде и нечетный по фазе, так как для действительного и мы имеет и в соответствии с правилом Это значит, что все сведения о функции и содержатся в комплексном спектре одних только положительных частот. Эти частоты сами по себе будут давать комплексное колебание, но отрицательные частоты так объединяются с положительными, что действительные части увеличиваются, а мнимые уничтожаются.

Имеются функции, для которых простая подстановка в (3) или (4) приводит к трудностям. Например, если для всех частот (физически это невозможно), интеграл (3) расходится. Эта характерная трудность может быть обойдена, если рассматривать спектр и в конечном результате устремить А к нулю. Результирующее колебание будет оно содержится в паре

1 нашей таблицы. Подобная же трудность возникает, если периодическая функция, и интеграл (4) расходится. Правило И, которое можно оправдать, перейдя к представлению в виде ряда Фурье, дает формальный способ обойти трудность. Обозначения в правиле 11 (автор нашел их полезными) имеют следующий смысл 1:

Таблица для операций с функциями, сопряженными по Фурье

(см. скан)

Таким образом, если непериодическая функция, для которой выражение (4) сходится, сдвигается во времени на интервалы, являющиеся любыми кратными и результаты складываются вместе, то спектр полученной периодической функции находится путем выборки значений для частот, разделенных частотой повторения Спектр состоит из отстоящих друг от друга на эту часто линий или дельта-функций, высота которых пропорциональ на