4. Сигнал сомнительной интенсивности или сомнительного существования

До сих пор предполагалось, что амплитуда сигнала известна в приемнике заранее, что на практике неправдоподобно. Если она неизвестна, теория несколько усложняется. В этом параграфе будет дана наметка более общей теории, после чего мы вернемся к простейшему предположению.

Когда амплитуда неизвестна, не может быть образована приемником, так как она содержит Лучшее, что можно сделать, это образовать

где пропорционально но приведено к некоторому стандартному уровню, например с энергией, равной единице. Принятое колебание имеет вид

где — неизвестная амплитуда сигнала. Уравнение (2) нужно теперь обобщить, написав А и вместо и введя совместное распределение образованное так, как описано в гл. IV, § 6. Таким образом,

Если нас интересует только определение можно трактовать А как случайный параметр и исключить его интегрированием. Это дает

Очевидно, что является достаточным решением, однако полное апостериорное распределение находится теперь не просто путем экспоненциального преобразования. Вид требуемого преобразования зависит, как и следовало ожидать, от априорного распределения амплитуд для каждого значения Однако, если функция ведет себя достаточно хорошо, интеграл может считаться для положительных значений функцией, мало меняющейся по сравнению с другими выражениями, зависящими от а для отрицательных значений его можно считать равным нулю (если известно, что А положительно). Мы можем заключить, что положительные должны преобразовываться приблизительно по закону а отрицательные значения должны срезаться. Не имеет, пожалуй, смысла продолжать это исследование дальше, так как само по себе содержит всю необходимую информацию и является достаточным решением и в теории и на практике. Даже если в окончательном результате -информация не требуется, является не более чем достаточным для извлечения -информации, и попытки разрушить -информацию не дают никаких упрощений.

Уравнение (25) имеет, однако, другое применение. Одно из назначений радиолокационных систем заключается в том, чтобы определить, имеется ли эхо в пространстве, которое обычно может и не быть пустым. Предположим, для простоты, что существует либо один сигнал, либо ни одного, и что требуется лишь информация о существовании. Если интерес имеет не определение а лишь установление присутствия или отсутствия, можно ожидать, что приемник, предназначенный для этой весьма ограниченной цели, может быть несколько упрощен. Чтобы убедиться, так ли

обстоит дело, нужно принять х за случайный параметр и исключить его интегрированием. Это дает

Отсюда сразу видно, что и здесь необходимо образовывать и что никакого упрощения не получается, если не считать упрощения в представлении результата. Тем не менее не лишено интереса продолжить рассмотрение задачи еще на один шаг. Допустим, что сигнал известной амплитуды может либо отсутствовать с априорной вероятностью либо присутствовать с априорной вероятностью Тогда

Подставив в (28) (и проинтегрировав отдельно около каждой дельта-функции), получим следующие дискретные апостериорные вероятности:

Важно понимать, что обычно принимающее разные значения в разных уравнениях, здесь в обоих уравнениях одно и то же так как они вместе описывают одно распределение. Написав теперь

с целью вернуться к прежним обозначениям для сигнала с известной интенсивностью, можно придать уравнениям (30) вид

Этот результат, полученный Дэвисом [12], показывает, что при наличии единственной цели вся информация о существовании заключена в площади под ненормированным -распределением. Прежде чем может быть произведена оцекка существования, должно быть определено расстояние. В гл. VI представится случай снова коснуться уравнений (32).