8. Однородный гауссов шум

Из всех видов шума проще всех поддается исследованию шум, обладающий наибольшей беспорядочностью, возможной в пределах ограничений, налагаемых системой, в которой он возникает. Тепловой шум является шумом такого вида. Дальнейшее рассмотрение ограничивается шумом, имеющим такую же статистическую структуру, как классический тепловой шум. Этот тип шума имеет фундаментальное значение. Для того чтобы описать его математически, оказывается удобным наложить произвольное ограничение на частоту, исключив все частоты, превосходящие некоторое Если отвлечься от квантовых эффектов, может быть взято как угодно большим. Теперь мы делаем следующие важные допущения:

1) дискреты, отстоящие на промежутки статистически независимы;

2) все дискреты имеют одинаковый средний квадрат;

3) все дискреты имеют гауссово распределение со средним значением нуль.

Первое предположение обеспечивает максимальную беспорядочность, возможную при ограничении полосы: можно показать, что отсутствие независимости уменьшает общую энтропию. Второе предположение может рассматриваться как следствие закона равномерного распределения энергии теплового движения по степеням свободы. Из уравнения (38) можно видеть, что квадраты дискретов определяют вклад от каждой степени свободы в общую энергию колебания. Таким образом, средняя энергия, связанная с дискретом, есть

где некоторая постоянная, имеющая размерность энергии и равная где постоянная Больцмана, -эквивалентная шумовая температура. Наконец, третье предположение, как показано в гл. I, обеспечивает максимум энтропии при заданном значении

Из этих допущений следует, что распределение вероятностей для любого дискрета есть

Так как каждый дискрет независим от остальных, совместное распределение вероятностей для всех дискретов задается функцией вида

Используя уравнение (38), мы можем записать в сокращенном обозначении

где интеграл от квадрата колебания или его общая энергия, нормирующая постоянная распределения. Простота этого соотношения обманчива. В гл. I было выяснено, что плотность распределения имеет смысл лишь для заданных переменных. В уравнении (42) переменными являются Выражение (42) есть вероятность на единичный объем пространства колебаний. Оно не является распределением вероятности для не есть коэффициент при должно быть выбрано так, чтобы

Поверхности постоянной являются гиперсферами в пространстве колебаний, и поэтому распределение вероятности в нем обладает сферической симметрией.

Уравнение (42) вместе с теоремой о дискретном представлении является полным статистическим описанием не только дискретов шума, но также и его значений во все промежуточные моменты времени. Имея таблицу случайных гауссовых чисел, можно искусственно построить типичный образец шума, как это сделано на рис. 10.

Рис. 10. Однородный гауссов шум, не содержащий частот выше, чем синтезированный с помощью случайных дискретов.

Дискретные значения, каждое из которых разыграно с помощью «гауссовой лотереи», изображены ординатами, в остальном колебание проинтерполировано с помощью уравнения (30).

Из этого построения непосредственно не видно, что если стереть выбранные ординаты, то невозможно будет отыскать, где они первоначально находились. В действительности можно по графику определить полосу , а отсюда, конечно, и интервал между дискретами, но не больше. Статистическая структура совершенно однородна во времени или, пользуясь точным термином, стационарна. Чтобы понять, почему это возможно, рассмотрим любой другой набор дискретов, взятых в моменты времени, чередующиеся с моментами, в которые берется первый набор, причем их величины отсчитываются по интерполированной кривой. Этот второй набор определяет ту же точку в пространстве колебаний, но в другой координатной системе, получающейся из первой путем поворота осей. Линейнце преобразование от координат к новым координатам задается на основании (30) следующим уравнением:

Из уравнений (11) и (37) можно показать, что это — ортогональное преобразование, оно соответствует повороту осей. Так как распределение вероятностей обладает в пространстве колебаний сферической симметрией, вращение не меняет уравнения (42).

Из того, что статистическая структура однородна во времени, следует, что средний квадрат каждого дискрета равен средней мощности шума Из уравнения (39) имеем на этом основании

где есть средняя энершя на степень свободы. Таким образом, полная энергия в полосе прямо пропорциональна ширине полосы Это означает, что мощность шума равномерно распределена по всем его частотам, есть средняя мощность шума на единицу полосы. Шум с таким распределением часто называют «белым шумом». Если мы пренебрегаем квантовыми эффектами, имеющими место на очень высоких частотах, чистый белый шум с бесконечной полосой есть неосуществимая идеализация, Точки выборки отстояли бы на исчезающе малые интервалы, а колебание принимало бы во всех точках бесконечные случайные значения. В этом еще одно оправдание для произвольного ограничения частоты.

Мы только что видели, что энергия шума, сходного с тепловым, распределена равномерно и по частоте очень высоких частот) и по времени. За время в полосе имеется степеней свободы, каждой из них принадлежит энергия Степени свободы соответствуют прямоугольным координатам в пространстве колебаний, которые могут быть выбраны различными способами. Один из них заключается в том, чтобы взять за координаты в пространстве колебаний дискреты во времени каждое из которых подчиняется гауссову распределению Энтропия этого распределения на основании § 10 гл. I и уравнения (44) равна Так как все дискреты статистически независимы, полная энтропия, связанная с полосой и временем (причем во избежание краевых эффектов есть

где средняя мощность шума. Можно показать, что это наибольшая возможная энтропия для любого действительного колебания с заданными