2. Комплексные функции сигнала и шума

Ввиду изменения обозначений, необходима краткая сводка тех выражений, на которые будет опираться исследование. Формулы предыдущей главы должны быть записаны в комплексной форме. Апостериорное распределение для превращается в

вместо уравнения (4) гл. V, a q(t) задается теперь уравнением

вместо (3) гл. Эти новые формулы получены из уравнения (56) гл. IV, в котором первый экспоненциальный множитель опущен в силу предположения, что полная принятая энергия не зависит от Это будет справедливым, если и периодична и время наблюдения охватывает целое число периодов, или если и (либо имеют конечную продолжительность и время наблюдения охватывает весь сигнал при любом значении

Уравнение (10) может быть теперь выражено через низкочастотные функции у и и, если воспользоваться формулами (2). Имеем

Циклический множитель представляет информацию, связанную с тонкой структурой, он может быть устранен с помощью описанного ранее сглаживания Информация, связанная с огибающей, задается тогда соотношением

Для целей анализа должно быть разложено на свои составляющие: сигнал и шум; таким образом, из (1) и (2) имеем

где истинное значение Следовательно, может быть записано в форме

где

Фазовый множитель в (16) может быть включен в (для этого нужно изменить определение шума); статистическое поведение А при этом не изменится. Выражения (15) и (16) представляют собой низкочастотные комплексные формы сигнальной функции и шумовой функции.

Свойства и А аналогичны ранее найденным. Максимальное значение наступает при и оно равно, как прежде,

Действительно, может быть разложено в ряд Тейлора около Используя формулы (6), (7) и (8), получим

(этот результат понадобится позднее). С помощью дискретного представления (см. гл. V) можно показать, что имеет независимые случайные действительную и мнимую части, имеющие обе гауссово распределение со средним значением нуль и с дисперсией

Распределение для будет поэтому распределением Релеяг а именно

Момент второго порядка для него равен

Это — средняя мощность огибающей физической шумовой функции. Отсюда лишний множитель 2 по сравнению с уравнением (13) предыдущей главы.

Для подробного количественного исследования поведения необходимо впредь ограничиться рассмотрением сигналов, для которых

Физически это означает, что отношение сигнал/шум на входе детектора должно быть велико по сравнению с единицей, чем исключается рассмотрение слабых сигналов до детектора, выявляемых из шума посредством последетекторного интегрирования. (По видимому, последняя задача еще никогда не была строго решена, т. е. результирующее апостериорное распределение для нее еще не было проанализировано.) Последетекторное интегрирование вообще не

рассматривается. С другой стороны, додетекорное интегрирование вполне естественно учитывается путем подходящего выбора пределов для интегралов по времени. Относительная величина энергии характеризует весь интегрируемый таким способом сигнал.