9. Комплексное представление

Если при анализе высокочастотных колебаний желательно пользоваться для амплитудной и для частотной модуляции единым обозначением, большие преимущества имеет комплексное представление. Наиболее изящный способ комплексного написания, предложенный Табором [3], был описан в гл. И, § 9. Отрицательные частоты при этом способе убираются из спектра, а составляющие с положительными частотами удваиваются по амплитуде. Физически данное колебание приравнивается действительной части комплексного колебания, а эта действительная часть однозначным образом определяет мнимую. Если ширина полосы очень мала по сравнению с несущей частотой, эта пара колебаний имеет простую наглядную интерпретацию. За интервал времени, малый по сравнению с постоянной времени модуляции, но включающий много периодов высокой частоты, действительная часть относится к мнимой как косинус к синусу. Как показал Габор, мы просто заменяем каждый при гармоническом анализе на

Во избежание путаницы колебания без отрицательных частот обозначаются в этой монографии греческими буквами. Комплексное принятое колебание будет поэтому обозначаться через у вместо у, а комплексный сигнал — через вместо их. В этом случае апостериорное распределение может быть записано

Нужно отметить, что здесь по сравнению с уравнением (22), присутствует лишний множитель 1/2. Он появляется, как было объяснено в гл. И, из-за применения комплексного обозначения, Подинтегральное выражение может быть развернуто:

где обозначает действительную часть. Первый член можно включить в Тогда

Это уравнение — комплексный дубликат уравнения (23). Оно применимо, как и (23), ко всем задачам о приеме при наличии белого гауссова шума и в отсутствие случайных параметров.