5. Корреляционный прием

Более сложная задача возникает, когда белый гауссов шум накладывается на сигнал их, зависящий от времени. Допустим снова, что в приемнике мы располагаем колебанием

Задача состоит в определении либо либо какого-нибудь информационного эквивалента этой функции.

Согласно уравнению (42) гл. II функцию правдоподобия можно записать

откуда апостериорное распределение

такое же, как (14), за исключением того, что их теперь есть функция от Интеграл под знаком экспоненциальной функции — определенный, его пределы должны охватывать весь интервал времени, занятый сигналом. Как и раньше, член с можно включить в и мы получим

откуда ясно, что определенный интеграл

достаточен для того, чтобы можно было определить апостериорное распределение без нового обращения к у. Этот интеграл не более чем достаточен, если он вычисляется только для тех значений х, для которых априорная вероятность (или плотность вероятности) не равна нулю.

Функция есть мера "взаимной корреляции между у и всеми возможными формами колебаний их. Из (23) видно, что, если все состояния сообщения х априори равновероятны и все соответствующие им сигналы их имеют одинаковую энергию, наиболее вероятным состоянием сообщения является то, которое имеет наибольшую взаимную корреляцию с у.

Стоит, пожалуй, рассмотреть числовой пример, применив для упрощения счета дискретное представление. В дискретном представлении уравнение (23) имеет вид

где подразумевается, что суммы берутся по дискретам, разделенным равными промежутками времени Дискретное представление отбрасывает все гармонические составляющие с частотой выше поэтому нужно предположить, что спектр сигналов их не распространяется выше Пусть, например, существуют следующие три состояния сообщения и соответствующие им сигналы:

Пусть, скажем, игра закончилась вничью. Колебание, получаемое в этом случае при приеме "сигнала", будет чистым шумом; но наблюдатель об этом не знает. Приводим типичную последовательность дискретов шума:

Эти числа взяты из самодельной таблицы случайных гауссовых чисел, в которой средний квадрат, измеренный на данной последовательности, равен

Назначение приемника — вычислить вероятности возможных исходов состязания путем сравнения у со всеми их по очереди. Сначала нужно получить выраженное теперь в виде Ъуих,

Обращаться к у больше нет необходимости, так как является достаточным решением. Однако не показывает без дальнейших расчетов, каков результат состязания. Предположим для простоты, что все три состояния до прихода сигнала равновероятны, заметим, что это предположение не нужно было делать до того, как было получено достаточное решение, тогда останется проделать следующие вычисления:

Последняя строчка есть вычисления следуют из (25), (28) и (29). Наблюдатель будет полагать, что, вероятно, игра закончилась вничью. При этом он окажется прав.

Нужно отметить, что окончательные вероятности могут быть вычислены лишь тогда, если известны средняя мощность шума

и энергия сигналов; на практике это может быть неудобным, либо невозможным. Ошибка в принятом для приемника значении не изменяет порядок, в котором располагаются конечные вероятности, но влияет на их величину. Переоценка уравнивает три конечных вероятности, и поучительно разобраться, почему так должно быть. Наблюдатель полагает средний уровень шума очень большим (поэтому он должен полагать также, что значения у получились сравнительно малыми чисто случайно). Очевидно, что нельзя при этом доверять какой-либо интерпретации у; нет основания ожидать близости у с каким-либо из и а если такая близость есть, она должна быть случайной. Так будет рассуждать идеальный наблюдатель, переоценивающий В пределе как видно из просто повторяет независимо от у. При этом (может быть ошибочно) никакой информации не извлекается.

Вопрос об абсолютной энергии сигнала более серьезен, так как ошибка в энергии, вообще говоря, меняет порядок, в котором располагаются апостериорные вероятности. Предположим, наблюдатель считает, что энергия сигналов в пять раз меньше, чем она есть на самом деле. Тогда имеем

Из этой таблицы делается заключение (на этот раз ошибочное), что состязание проиграно. Сам факт, что наиболее вероятный результат оказывается неправильным, не имеет особенного значения. Цель этого примера — показать, что заключение зависит от предположений, сделанных относительно абсолютной энергии сигнала.

Очевидный способ избежать такой ситуации состоит в том, чтобы кодировать для передачи сообщения в сигналы, энергия которых не зависит от сообщения, т. е. сделать полную энергию всех сигналов одинаковой. Первый экспоненциальный сомножитель в уравнениях (23) и (25) может быть тогда включен в и ошибка в уровне сигнала не будет влиять на порядок вероятностей. Если все состояния априори равновероятны, наиболее вероятным состоянием апостериори будет то, для которого максимальна.