9. Комплексное представление действительных колебаний

До сих пор мы говорили о колебаниях которые могут быть комплексными для математических целей, но всякий раз, когда анализ прилагается к практической радиотехнической задаче, должна быть чисто действительной. В согласии с этим в предыдущем параграфе предполагалось, что действительная функция, представляющая чисто действительное шумовое колебание. Комплексное колебание — это пара колбаний, соединенных вместе.

Физические колебания, за исключением волновой механики, не имеют, разумеется, такой двойной природы. Изящество комплексного обозначения, однако, так привлекательно для математика, что в целях общности он стремится формулировать теоремы в их комплексной форме, даже когда в окончательные результаты должны подставляться чисто действительные функции. Конечно, в этом нет ничего страшного, но неосторожный вычислитель может затем невольно при решении физической задачи пользоваться для представления чисто действительного колебания Обычно решение задачи получается комплексным, и он в конце берет, немного наугад, действительную часть; при этом иногда получается правильный ответ, иногда нет. Но существует определенный класс задач, в которых комплексное обозначение может законно применяться, и при условии, что принципы, на основе которых действительное колебание представляется комплексной функцией, правильно поняты, не приходится сомневаться в законности этой операции. Дело не сводится к тому, чтобы выбрать любую комплексную функцию, имеющую нужную действительную часть.

Комплексное представление, описанное во всей полноте Габором [3], состоит в том, чтобы работать только с положительными частотами, на том основании, что отрицательные частоты дают лишь комплексно сопряженное отражение положительных. Составляющие с отрицательными частотами должны всегда присутствовать, но они опускаются наподобие некоей стенографии (однажды поняв эту простую идею, нетрудно применять излагаемый метод на практике). Так, если действительное колебание не содержит частот вне интервала оно однозначно определяет спектральные составляющие в интервале и однозначно определяется ими. Эти положительные частоты, как отмечалось ранее, образуют посредством интеграла Фурье комплексную функцию времени, которая, если удвоить ее амплитуду, имеет действительную часть, равную данному колебанию, и мнимую часть, полностью определяемую действительной частью. Написав в уравнении (33), можно увидеть, что любое действительное колебание может быть полностью описано комплексными дискретами, выбранными через промежутки вместо действительных дискретов, взятых через промежутки 1/21, как это имеет место в уравнении (30).

Способ создания комплексной функции соответствующей заданной действительной функции может быть записан аналитически следующим образом:

откуда по правилам

Расписав свертку полностью и устремив в бесконечность, получим

где

Последнее уравнение известно как преобразование Гильберта (см. [3]).

Используя комплексное обозначение, можно записать энергию действительного физического колебания в форме

Это легко доказывается с помощью теоремы Парсеваля. При отбрасывании отрицательных частот интеграл от квадрата модуля уменьшается вдвое, затем при удвоении амплитуд положительных частот он учетверяется. Интеграл от равен поэтому удвоенному интегралу от Соответствующие формулы, выраженные через дискреты взятые через промежутки таковы:

Они отличаются от уравнений (38), так как промежутки выборки различны. Не существует общего соотношения между энергией заданной уравнением (50) и (51), и суммой квадратов значений взятых через промежутки Та связь, какую дает уравнение (38) для действительного существует лишь, когда дискреты х выбираются в два раза чаще, а именно через промежутки 1/2

Когда однородный гауссов шум представляется в комплексной форме, статистические свойства того комплексного колебания, которое при этом вводится искусственно, являются точно такими же, как свойства действительного колебания. Кроме того, можно показать, что действительная и мнимая части комплексных дискретов, взятых через интервалы полностью независимы. Таким образом, совместное распределение вероятностей по аналогии с (41) хможет быть записано

где действительная и мнимая части комплексного дискрета Используя (50) и (51), это можно записать в стенографической форме

в точности совпадающей с (42). Причина совпадения заключается в том, что выражение (42) есть вероятность на единичный объем пространства колебаний, а комплексная формулировка соответствует всего лишь другому выбору ортогональных координат.

Чтобы избежать путаницы в обозначениях в следующих главах, комплексные колебания, не содержащие отрицательных частот, обозначены греческими буквами. Обычные символы могут обозначать либо действительные колебания, либо комплексные колебания общего вида, в которых действительная и мнимая части не связаны преобразованием Гильберта.