5. Дискретное представление высокочастотных колебаний

В этом параграфе дискретное представление распространяется на колебания, спектр которых заключен в пределах

Допустимые частоты располагаются в двух полосах шириной с серединами при (Если колебание должно быть действительным, нужны обе полосы.) Более сильное ограничение (31) может трактоваться как специальный случай ограничения Теорема о дискретном представлении § 4 гл. II может быть поэтому применена непосредственно путем подстановки вместо но она при этом не будет полностью использована. Уравнение (30) будет заведомо справедливым, однако дискреты не могут быть выбраны произвольно, ибо спектр тогда содержал бы, вообще говоря, все частоты внутри и между полос (31). Эта трудность может быть преодолена путем обобщения теоремы о дискретном представлении.

Рассмотрим комплексное колебание спектр которого заключен внутри интервала положительных частот Тогда имеем

а отсюда по правилам

Таким образом, колебание однозначно определяется своими комплексными значениями через промежутки Эти значения могут

быть выбраны произвольно без появления запрещенных частот. Для того чтобы применить уравнение (33) к чисто действительным колебаниям, необходимо лишь взять действительную часть от его обеих частей. Полагая

мы получим

Отсюда можно сразу увидеть, что не определяется одним греб; функции обе необходимы. Физически это означает лишь то, что в каждой из выбранных точек должны быть заданы мгновенные амплитуда и фаза (огибающая и фаза несущей).

Рассмотрим число степеней свободы действительного высокочастотного колебания. При полосе необходимо задавать через промежутки что дает всего "измерений" за время Это — тот же результат, что и для низкочастотного колебания, но необходимо подчеркнуть, что интервал между дискретами теперь другой.