4. Неоднозначность из-за шума

Заманчиво предположить, что при достаточно большом наличие никогда не приведет к заметкой неоднозначности — другими словами, что шум никогда не создаст ложный пик, который можно было бы спутать с пиком от сигнала в Если фиксировано, это оказывается справедливым, но если мы возьмем как угодно большое, но фиксированное значение а затем будем увеличивать для того, чтобы получать все большую и большую точность измерения, неизбежно появится неоднозначность и будет мешать наблюдениям до тех пор, пока не будет снова увеличено.

Чтобы понять, как появляется неоднозначность, мы должны сравнить площадь под пиком от сигнала с площадью какого-либо шумового пика функции Сначада, однако, нужно сделать определенное допущение об априорной вероятности, так как неоднозначность — явление, сильно зависящее от объема априорного знания. Очень неприятно, что, в конце концов, приходится делать некоторое произвольное допущение относительно но это совершенно неизбежно. Предположим, что есть прямоугольное распределение с шириной (ясно, что это предположение произвольно), т. е.

Допустим, что имеет произвольное значение, подчиненное условию

что на практике обычно выполняется. Определим теперь подобно функции функцию Имеем

Постоянные могут быть опущены, так как мы будем только сравнивать обе функции. Дальнейшее исследование является лишь приближенным, око основывается на предположении, что в уравнениях (12) и (14) на протяжении пика от сигнала можно пренебречь по сравнению с а во всех остальных местах пренебречь по сравнению с Первое из этих предположений обсуждается вкратце в гл. VI, § 6; второе справедливо, если практически равно нулю на всем интервале за исключением окрестности Радиолокационные сигналы, как будет показано в гл. VII, обычно выбираются так, что они обладают этим свойством.

Площадь под при легко вычисляется с помощью асимптотического представления (24). Используя (18), получаем приближенно

Вычисление площади под более трудное дело; самое простое, что мы можем сделать, это вычислить ожидание для интервала и пренебречь флюктуациями около этого среднего значения. Итак, приближенно

Подставляя формулу (20), получим интеграл, который может быть точно вычислен; в результате получается

Определим неоднозначность А как ту часть апостериорной вероятности, которая относится к значениям оторванным от области вблизи Имеем

Сразу видно, что когда растет, А уменьшается, но А увеличивается с увеличением при фиксированном Величина имеет реальный смысл, так как она равна (грубо говоря) числу

различимых значений в интервале Зависимость А от показана на рис. 16, откуда видно, что существует резко выраженный пороговый эффект, наступающий при

Это — один из наиболее интересных результатов теории радиолокации.

Нужно заметить, что для сигнала заданной формы, т. е. для фиксированного и для заданного отношения сигнал/шум трудность однозначного определения положения сигнала (и, как мы увидим вскоре, трудность самого его обнаружения) не является чем-то неизменным: она зависит от протяженности интервала развертки по расстоянию, в котором можно предполагать наличие сигнала.

Рис. 16. Пороговый эффект.

Зависимость неоднозначности А от отношения энергии

Чем больше те пределы, в которых нужно Сделать выбор, тем больше возможностей того, чтобы какой-нибудь шумовой пик выглядел как пик от сигнала и, следовательно, тем большее отношение сигнал/шум необходимо для противодействия этому эффекту. Требуемая при этом дополнительная энергия сигнала как раз достаточна для обеспечения той добавочной информации, которую хотят получить от системы, при увеличении Это будет показано позднее.

Пороговый эффект тесно связан с вопросом о вероятности наличия цели. Используя выражения для распределения после детектора, уравнения (32) гл. V можно записать так:

Предположим теперь, что так что может быть заменено приближенно одним лишь Тогда из (28), (30) и (33) получим

Как видно из (36), апостериорные вероятности примерно равны: априорным и никакой информации о наличии цели не получается. Допустим, с другой стороны, что Тогда в (36) может быть заменено через Тогда из (28), (30) и (31) имеем

Таким образом, если априорные вероятности равны, та апостериорная вероятность отсутствия цели (при условии, что в действительности имеется сигнал) равна

Но по предположению А близко к нулю. Поэтому кажущаяся вероятность того, что сигнала нет, когда в действительности он есть очень мала. Это означает, что порог разборчивости (пользуясь введенным ранее термином) играет также роль порога обнаружения, дели. Если меньше значения, удовлетворяющего уравнению радиолокационное наблюдение бесполезно, за исключением случая, когда его результаты могут быть скомбинированы с наблюдениями дальнейших сигналов.

Приведенная теория целиком относится к неподвижной цели: движущаяся цель приводит к вполне аналогичной задаче об определении дальности и скорости или времени и частоты, которая решается аналогичным образом.