7. Дельта-функция

Если случайная функция х может принимать непрерывные значения, описываемые плотностью вероятности, вероятность любого точного значения равна нулю: она становится конечной лишь тогда, когда допускается какой-то разброс или отклонение. Геометрически это значит, что площадь, лежащая под одной точкой кривой равна нулю; является конечной вероятностью благодаря разбросу Но существуют исключения. Пусть, например, случайная функция проходит через ограничитель. Тогда вероятность того, что выходной сигнал имеет граничное (наибольшее) значений, конечна и равна интегралу от плотности вероятности входного сигнала по всем значениям, превышающим граничное. (Значения ниже граничного могут попрежнему иметь непрерывное распределение, характеризуемое истинной функцией плотности вероятности.) Так как вероятность на графике плотности вероятности изображается площадью, то возникает задача сжать конечную площадь до нулевой ширины. Для этого используется дельта-функция. Она является только средством представления существенно дискретных величин с помощью формального аппарата непрерывных величин и имеет следующие свойства:

Весь вклад в интеграл происходит при Более строго дельта-функция может рассматриваться как предел, например, такой функции

при X, стремящемся к бесконечности. Строго говоря, к пределу нужно всегда переходить в конце задачи.

Иногда приходится вычислять интегральные свертки, содержащие дельта-функции. Кроме того, смысл свертки можно лучше понять, когда она содержит дельта-функцию. Рассмотрим свертку от Функций Первая представляет достоверность того, что вторая — некоторую распределенную вероятность

случайной величины Свертка является распределением для и результат, очевидно, должен быть Заменяя в уравнении (52) на , мы получим

Так как равно нулю везде, кроме то интеграл не изменится, если в положить Множитель выносится из под знака интеграла, а интеграл от дельта-функции равен единице. Следовательно, как мы и предвидели,

Так как мы можем также написать

Эта формула выражает тот факт, что может рассма триваться как совокупност! малых элементов — дельта функций умноженных соответственно на как по казано на рис. 6,а. Общая свертка может интерпретиро ваться как аналогичная совокупность, но составленная не из дельта-функций, а из функций вида Каждый -образный элемент функции расплывается и принимает форму функции показано на рис. 6,б. Это является аналогом схемы умножения § 4.

Рис. 6. Принцип суперпозиции: а) произвольная функция как суперпозиция дельта-функций; б) распределение с рисунка 5 как суперпозиция экспоненциальных распределений, взвешенных посредством прямоугольного распределения.